ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) $\sqrt{3x-5}=\sqrt{9-7x}$

б) $\sqrt{x^2-4}+\sqrt{1-x^2}=4$

Доказать, что уравнение не имеет корней:

а) $\sqrt{3x — 5} = \sqrt{9 — 7x}$

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} 3x — 5 \geq 0 \\ 9 — 7x \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x \geq 5 \\ 7x \leq 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq \dfrac{5}{3} \\ x \leq \dfrac{9}{7} \end{cases} \Rightarrow x \in \varnothing;$$

Уравнение не определено ни при каких значениях $x$.

Корней нет, что и требовалось доказать.

б) $\sqrt{x^2 — 4} + \sqrt{1 — x^2} = 4$

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} x^2 — 4 \geq 0 \\ 1 — x^2 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 \geq 4 \\ x^2 \leq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |x| \geq 2 \\ |x| \leq 1 \end{cases} \Rightarrow x \in \varnothing;$$

Уравнение не определено ни при каких значениях $x$.

Корней нет, что и требовалось доказать.

а) Уравнение:

$$\sqrt{3x — 5} = \sqrt{9 — 7x}$$

Шаг 1. Найдём область определения (ОДЗ)

Корень квадратный определён, только если подкоренное выражение неотрицательно.

Запишем условия:

$$\begin{cases} 3x — 5 \geq 0 \\ 9 — 7x \geq 0 \end{cases}$$

Шаг 2. Решим каждое неравенство

1. $3x — 5 \geq 0 \Rightarrow 3x \geq 5 \Rightarrow x \geq \dfrac{5}{3}$
2. $9 — 7x \geq 0 \Rightarrow 7x \leq 9 \Rightarrow x \leq \dfrac{9}{7}$

Шаг 3. Совместим оба условия

$$x \geq \dfrac{5}{3} \quad \text{и} \quad x \leq \dfrac{9}{7}$$

Это означает, что не существует значений $x$, удовлетворяющих одновременно этим условиям.
Действительно:

$$\dfrac{5}{3} \approx 1{,}67 \quad \text{и} \quad \dfrac{9}{7} \approx 1{,}29$$

Условие $x \geq 1{,}67$ противоречит $x \leq 1{,}29$.
Их пересечение — пустое множество:

$$x \in \varnothing$$

Шаг 4. Вывод

Уравнение не определено ни при одном значении $x$, следовательно:

Ответ: корней нет, что и требовалось доказать.

б) Уравнение:

$$\sqrt{x^2 — 4} + \sqrt{1 — x^2} = 4$$

Шаг 1. Найдём область определения (ОДЗ)

Оба корня существуют только при неотрицательных подкоренных выражениях:

$$\begin{cases} x^2 — 4 \geq 0 \\ 1 — x^2 \geq 0 \end{cases}$$

Шаг 2. Решим каждое неравенство

1. $x^2 — 4 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \Rightarrow |x| \geq 2 \Rightarrow x \leq -2 \ \text{или} \ x \geq 2$
2. $1 — x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 1 \Rightarrow |x| \leq 1 \Rightarrow x \in [-1;\ 1]$

Шаг 3. Совместим оба условия

$$\begin{cases} |x| \geq 2 \\ |x| \leq 1 \end{cases} \Rightarrow x \in \varnothing$$

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу, так как число не может одновременно иметь модуль больше или равный 2 и меньше или равный 1.

Шаг 4. Вывод

Оба корня в левой части уравнения не могут существовать одновременно ни при каком $x$.

Следовательно:

Ответ: корней нет, что и требовалось доказать.