ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\lg(x^2 — 9) + \lg(4 — x^2) = 1$;

б) $\lg(x^2 — 3x) — \lg(2x — x^2) = 0{,}5$

Доказать, что уравнение не имеет корней:

а) $\lg(x^2 — 9) + \lg(4 — x^2) = 1$;

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} x^2 — 9 > 0 \\ 4 — x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 > 9 \\ x^2 < 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |x| > 3 \\ |x| < 2 \end{cases};$$

Уравнение не определено ни при каких значениях $x$;

Корней нет, что и требовалось доказать.

б) $\lg(x^2 — 3x) — \lg(2x — x^2) = 0{,}5$;

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} x^2 — 3x > 0 \\ 2x — x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(x — 3) > 0 \\ x(x — 2) < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0,\; x > 3 \\ 0 < x < 2 \end{cases};$$

Уравнение не определено ни при каких значениях $x$;

Корней нет, что и требовалось доказать.

а) $\lg(x^2 — 9) + \lg(4 — x^2) = 1$

Шаг 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.
Логарифмическое выражение определено только тогда, когда аргумент логарифма положителен.
Следовательно, для выражения $\lg(x^2 — 9)$ необходимо, чтобы:

$$x^2 — 9 > 0$$

А для выражения $\lg(4 — x^2)$ необходимо, чтобы:

$$4 — x^2 > 0$$

Шаг 2. Решим каждое неравенство отдельно.

$x^2 — 9 > 0$
Переносим 9 в правую часть:

$$x^2 > 9$$

Извлекаем корень из обеих частей (с учётом знака):

$$|x| > 3 \Rightarrow x < -3 \quad \text{или} \quad x > 3$$

$4 — x^2 > 0$
Переносим $x^2$ в правую часть:

$$x^2 < 4$$

Извлекаем корень:

$$|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2$$

Шаг 3. Совместим условия.
Уравнение имеет смысл только при тех значениях $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

$$\begin{cases} |x| > 3 \\ |x| < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -3 \text{ или } x > 3 \\ -2 < x < 2 \end{cases}$$

Но таких $x$ не существует, поскольку множества $x < -3 \text{ или } x > 3$ и $-2 < x < 2$ не пересекаются.
Иными словами, не существует ни одного числа $x$, которое одновременно меньше $-3$ или больше $3$, и при этом находится между $-2$ и $2$.

Вывод:
Уравнение не определено ни при каких значениях $x$.
Следовательно, корней нет, что и требовалось доказать.

б) $\lg(x^2 — 3x) — \lg(2x — x^2) = 0{,}5$

Шаг 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.
Аргументы логарифмов должны быть положительными, поэтому:

1. $x^2 — 3x > 0$
2. $2x — x^2 > 0$

Шаг 2. Решим первое неравенство:

$x^2 — 3x > 0$
Вынесем $x$ за скобку:

$$x(x — 3) > 0$$

Решим методом интервалов:
Нули выражения: $x = 0$ и $x = 3$
Знаки на интервалах:

• при $x < 0$: произведение отрицательное,
• при $0 < x < 3$: $x > 0$, $x — 3 < 0$ → произведение отрицательное,
• при $x > 3$: оба множителя положительные → произведение положительное.

Значит:

$$x(x — 3) > 0 \Rightarrow x < 0 \quad \text{или} \quad x > 3$$

Шаг 3. Решим второе неравенство:

$2x — x^2 > 0$
Запишем в стандартном виде:

$$-x^2 + 2x > 0$$

Вынесем $-1$ за скобку:

$$-(x^2 — 2x) > 0 \Rightarrow x^2 — 2x < 0$$

Решаем неравенство:

$$x(x — 2) < 0$$

Нули: $x = 0$ и $x = 2$
Знаки на интервалах:

• при $x < 0$: произведение положительное,
• при $0 < x < 2$: $x > 0$, $x — 2 < 0$ → произведение отрицательное,
• при $x > 2$: произведение положительное.

Значит:

$$x(x — 2) < 0 \Rightarrow 0 < x < 2$$

Шаг 4. Совместим оба условия:

$$\begin{cases} x < 0 \text{ или } x > 3 \\ 0 < x < 2 \end{cases}$$

Проверим, существуют ли значения $x$, удовлетворяющие одновременно этим двум условиям.

• $x < 0$ не пересекается с $0 < x < 2$,
• $x > 3$ не пересекается с $0 < x < 2$.

Значит, нет ни одного значения $x$, которое удовлетворяет обоим условиям.

Вывод:
Уравнение не определено ни при каких значениях $x$.
Следовательно, корней нет, что и требовалось доказать.