ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sqrt{7x — 6} = x$

б) $x + 3 = \sqrt{2x + 9}$

в) $\sqrt{6x — 11} = x — 1$

г) $-x-5=\sqrt{7x+23}$

Решить уравнение:

а) $\sqrt{7x — 6} = x$

$$7x-6=x^2$$

$$x^2-7x+6=0$$

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25$$

$$x_1=\frac{7-5}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{7+5}{2}=6$$

Уравнение имеет решения при:

$$\{\begin{array}{l}7x-6\ge 0\\ x\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}7x\ge 6\\ x\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ge \frac{6}{7};\\ x\ge 0\end{array}$$

Ответ: 1; 6.

б) $x + 3 = \sqrt{2x + 9}$

$$(x+3{)}^2=2x+9$$

$$x^2 + 6x + 9 = 2x + 9$$

$$x^2 + 4x = 0$$

$$(x + 4)x = 0$$

$$x_1=-4\text{и}{x}_2=0$$

Уравнение имеет решения при:

$$\{\begin{array}{l}x+3\ge 0\\ 2x+9\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ge -3\\ 2x\ge -9\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ge -3\\ x\ge -4,5;<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"></span>\end{array}$$

Ответ: 0.

в) $\sqrt{6x — 11} = x — 1$

$$6x — 11 = (x — 1)^2$$

$$6x — 11 = x^2 — 2x + 1$$

$$x^2 — 8x + 12 = 0$$

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$$

$$x_1=\frac{8-4}{2}=2\text{и}{x}_2=\frac{8+4}{2}=6$$

Уравнение имеет решения при:

$$\begin{cases} 6x — 11 \ge 0 \\ x — 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x \ge 11 \\ x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1\frac{5}{6}; \\ x \ge 1 \end{cases}$$Ответ: 2; 6.

г) $-x — 5 = \sqrt{7x + 23}$

$$(-x-5{)}^2=7x+23$$

$$x^2 + 10x + 25 = 7x + 23$$

$$x^2 + 3x + 2 = 0$$

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

$$x_1=\frac{-3-1}{2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{-3+1}{2}=-1$$

Уравнение имеет решения при:

$$\begin{cases} -x — 5 \ge 0 \\ 7x + 23 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le -5 \\ 7x \ge -23 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le -5 \\ x \ge -3\frac{2}{7}; \end{cases}$$Ответ: корней нет.

а) $\sqrt{7x — 6} = x$

Возводим обе части уравнения в квадрат:
Преобразуем уравнение $\sqrt{7x — 6} = x$, возведя обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$${\left(\sqrt{7x-6}\right)}^2=x^2$$

Получаем:

$$7x-6=x^2$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:
Чтобы получить квадратное уравнение, перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$$x^2-7x+6=0$$

Это стандартное квадратное уравнение.

Вычисляем дискриминант:
Для того чтобы найти корни квадратного уравнения, вычислим дискриминант по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

где $a = 1$, $b = -7$, $c = 6$. Подставляем значения:

$$D=(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25$$

Дискриминант $D = 25$, он положительный, следовательно, у нас два различных корня.

Находим корни уравнения:
Корни квадратного уравнения находим по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-(-7)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{7-5}{2}=1$$

$$x_2=\frac{-(-7)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{7+5}{2}=6$$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Проверка условий:
Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению. Для этого нужно учитывать, что выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$7x — 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{6}{7}$$Также $x$ должно быть неотрицательным:

$$x \ge 0$$Таким образом, система ограничений:

$$\begin{cases} x \ge \frac{6}{7} \\ x \ge 0 \end{cases}$$Так как оба корня $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$ удовлетворяют этим условиям, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: 1; 6.

б) $x + 3 = \sqrt{2x + 9}$

Возводим обе части уравнения в квадрат:
Чтобы избавиться от квадратного корня, возводим обе части уравнения в квадрат:

$$(x + 3)^2 = ( \sqrt{2x + 9} )^2$$Получаем:

$$(x+3{)}^2=2x+9$$

Раскрываем скобки:
Раскроем квадрат слева:

$$x^2+6x+9=2x+9$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:
Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$$x^2+6x+9-2x-9=0$$

Упрощаем:

$$x^2+4x=0$$

Факторизуем уравнение:
Для решения уравнения $x^2 + 4x = 0$ можно вынести общий множитель $x$:

$$x(x+4)=0$$

Таким образом, у нас два возможных корня:

$$x_1=0,x_2=-4$$

Проверка условий:
Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению. Для этого рассмотрим:

$$x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$$
$$2x+9\ge 0\Rightarrow x\ge -4.5$$

Таким образом, система ограничений:

$$\begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -4.5 \end{cases}$$

Для $x_1 = 0$, это условие выполняется. Однако для $x_2 = -4$, оно не выполняется, так как $-4 \not\ge -3$.

Ответ: 0.

в) $\sqrt{6x — 11} = x — 1$

Возводим обе части уравнения в квадрат:
Возводим обе части уравнения в квадрат:

$${\left(\sqrt{6x-11}\right)}^2=(x-1{)}^2$$

Получаем:

$$6x-11=(x-1{)}^2$$

Раскрываем скобки:
Раскроем квадрат справа:

$$6x-11=x^2-2x+1$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:
Теперь перенесем все элементы на одну сторону:

$$x^2-2x+1-6x+11=0$$

Упрощаем:

$$x^2-8x+12=0$$

Вычисляем дискриминант:
Вычислим дискриминант для квадратного уравнения $x^2 — 8x + 12 = 0$:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16$$

Дискриминант $D = 16$, он положительный, следовательно, у нас два корня.

Находим корни уравнения:
Корни уравнения можно найти с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{8-4}{2}=2$$

$$x_2=\frac{-(-8)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{8+4}{2}=6$$

Проверка условий:
Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению. Для этого нужно учитывать, что выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$6x — 11 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{11}{6}$$

Также $x — 1 \ge 0$, то есть:

$$x\ge 1$$

Таким образом, система ограничений:

$$\begin{cases} x \ge \frac{11}{6} \\ x \ge 1 \end{cases}$$

Корень $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$ удовлетворяют этим условиям.

Ответ: 2; 6.

г) $-x — 5 = \sqrt{7x + 23}$

Возводим обе части уравнения в квадрат:
Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$(-x-5{)}^2=(\sqrt{7x+23}{)}^2$$

Получаем:

$$(x+5{)}^2=7x+23$$

Раскрываем скобки:
Раскроем квадрат слева:

$$x^2+10x+25=7x+23$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:
Теперь перенесем все элементы на одну сторону:

$$x^2+10x+25-7x-23=0$$

Упрощаем:

$$x^2+3x+2=0$$

Вычисляем дискриминант:
Вычислим дискриминант для квадратного уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$$

Дискриминант $D = 1$, он положительный, следовательно, у нас два корня.

Находим корни уравнения:
Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-3-1}{2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{-3+1}{2}=-1$$

Проверка условий:
Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению. Для этого нужно учитывать, что выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$7x + 23 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{23}{7}$$

Также $-x — 5 \ge 0$, то есть:

$$x\le -5$$

Таким образом, система ограничений:

$$\begin{cases} x \le -5 \\ x \ge -3\frac{2}{7} \end{cases}$$

Эти условия противоречат друг другу, и решений нет.

Ответ: корней нет.