Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Будет ли уравнение вида h(f(x)) = h(g(x)) равносильно уравнению f(x) = g(x):
а) \( 3^{2-x} = 3^{x^2 — 4x} \)
б) \( (3x^2 — 2)^4 = (x — 3)^4 \)
в) \( \sqrt[3]{7 — x} = \sqrt[3]{5x + 1} \)
г) \( \lg \frac{1}{x} = \lg (2x — 7) \)
Будут ли уравнения \( h(f(x)) = h(g(x)) \) и \( f(x) = g(x) \) равносильны;
а) \( 3^{2-x} = 3^{x^2 — 4x} \);
Функция \( y = 3^x \) является монотонной;
Все функции определены на множестве \( \mathbb{R} \), значит:
\( 2 — x = x^2 — 4x \);
Ответ: да.
б) \( (3x^2 — 2)^4 = (x — 3)^4 \);
Функция \( y = x^4 \) не является монотонной;
Ответ: нет.
в) \( \sqrt[3]{7 — x} = \sqrt[3]{5x + 1} \);
Функция \( y = \sqrt[3]{x} \) является монотонной;
Все функции определены на множестве \( \mathbb{R} \), значит:
\( 7 — x = 5x + 1 \);
Ответ: да.
г) \( \lg \frac{1}{x} = \lg (2x — 7) \);
Функция \( y = \lg x \) является монотонной;
Области определения функций не совпадают:
\( D\left( \frac{1}{x} \right) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \);
\( D(2x — 7) = (-\infty; +\infty) \);
\( D(\lg x) = (0; +\infty) \);
Ответ: нет.
Будут ли уравнения \( h(f(x)) = h(g(x)) \) и \( f(x) = g(x) \) равносильны?
Рассматриваем для разных функций \( h(x) \), является ли она монотонной (строго возрастающей или строго убывающей), и совпадают ли области определения.
а) \( 3^{2 — x} = 3^{x^2 — 4x} \)
Заметим, что функция \( y = 3^x \) является строго возрастающей на \( \mathbb{R} \), потому что:
- Для любого \( x_1 < x_2 \), имеем \( 3^{x_1} < 3^{x_2} \).
- Следовательно, если \( 3^{A} = 3^{B} \), то обязательно \( A = B \).
Пусть \( f(x) = 2 — x \), \( g(x) = x^2 — 4x \), и \( h(x) = 3^x \).
Так как \( h(x) \) монотонна и всюду определена, уравнение \( h(f(x)) = h(g(x)) \) равносильно уравнению \( f(x) = g(x) \).
Рассмотрим уравнение:
\( 3^{2 — x} = 3^{x^2 — 4x} \)
Так как основания одинаковые и \( 3^x \) строго монотонна:
\( \Rightarrow 2 — x = x^2 — 4x \)
Решим уравнение:
\( x^2 — 4x — (2 — x) = 0 \Rightarrow x^2 — 4x — 2 + x = 0 \Rightarrow x^2 — 3x — 2 = 0 \)
Найдем корни:
\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17 \)
\( x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \)
Вывод: уравнения равносильны. Ответ: да.
б) \( (3x^2 — 2)^4 = (x — 3)^4 \)
Пусть \( f(x) = 3x^2 — 2 \), \( g(x) = x — 3 \), и \( h(x) = x^4 \).
Функция \( h(x) = x^4 \) не является строго монотонной на всей области определения:
- На отрезке \( x \in (-\infty; 0] \) она убывает,
- на \( x \in [0; +\infty) \) она возрастает,
- но на всей \( \mathbb{R} \) — не монотонна.
Следовательно, даже если \( h(f(x)) = h(g(x)) \), это не гарантирует, что \( f(x) = g(x) \), так как у функции \( x^4 \) есть разные аргументы, дающие одинаковое значение.
Например:
\( h(2) = 16 = h(-2) \), но \( 2 \ne -2 \)
Значит, функция \( h(x) \) не инъективна.
Вывод: уравнение \( (3x^2 — 2)^4 = (x — 3)^4 \) не эквивалентно \( 3x^2 — 2 = x — 3 \).
Ответ: нет.
в) \( \sqrt[3]{7 — x} = \sqrt[3]{5x + 1} \)
Пусть \( f(x) = 7 — x \), \( g(x) = 5x + 1 \), и \( h(x) = \sqrt[3]{x} \).
Функция \( y = \sqrt[3]{x} \) — строго монотонная на \( \mathbb{R} \):
- Она возрастает: \( x_1 < x_2 \Rightarrow \sqrt[3]{x_1} < \sqrt[3]{x_2} \).
- Определена для всех \( x \in \mathbb{R} \).
Следовательно, \( h(f(x)) = h(g(x)) \Rightarrow f(x) = g(x) \).
Упростим:
\( 7 — x = 5x + 1 \Rightarrow 7 — 1 = 5x + x \Rightarrow 6 = 6x \Rightarrow x = 1 \)
Вывод: уравнения равносильны. Ответ: да.
г) \( \lg \left( \frac{1}{x} \right) = \lg (2x — 7) \)
Пусть \( f(x) = \frac{1}{x} \), \( g(x) = 2x — 7 \), \( h(x) = \lg x \).
Функция \( y = \lg x \) — строго возрастающая на области определения \( (0; +\infty) \).
Однако перед применением эквивалентности нужно проверить, что оба выражения определены на одной и той же области.
Разберём области определения:
- \( D(f) = D\left( \frac{1}{x} \right) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
- \( D(g) = D(2x — 7) = \mathbb{R} \)
- \( D(h) = (0; +\infty) \), то есть аргументы \( f(x) \) и \( g(x) \) должны быть положительными
Рассмотрим, при каких \( x \) одновременно:
- \( \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow x > 0 \)
- \( 2x — 7 > 0 \Rightarrow x > 3.5 \)
Совместная область определения: \( x > 3.5 \)
На этой области функция \( \lg x \) определена, и она монотонна.
Значит, на этой области уравнение \( \lg \left( \frac{1}{x} \right) = \lg (2x — 7) \) равносильно \( \frac{1}{x} = 2x — 7 \).
Решим уравнение:
\( \frac{1}{x} = 2x — 7 \Rightarrow 1 = x(2x — 7) \Rightarrow 1 = 2x^2 — 7x \Rightarrow 2x^2 — 7x — 1 = 0 \)
\( D = 49 + 8 = 57 \), корни:
\( x = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{4} \approx \frac{7 \pm 7.55}{4} \)
Приблизительные значения:
- \( x_1 \approx \frac{14.55}{4} \approx 3.64 \)
- \( x_2 \approx \frac{-0.55}{4} \approx -0.14 \)
Проверим, входят ли в область определения:
- \( x_1 \approx 3.64 > 3.5 \Rightarrow \) подходит
- \( x_2 < 0 \Rightarrow \) не подходит
Но: уравнение \( \lg \left( \frac{1}{x} \right) = \lg (2x — 7) \) не определено вне пересечения ОДЗ.
Значит, в целом, исходное уравнение определено не на всей области определения, и, строго говоря, функции не имеют одинаковую область определения.
Вывод: несмотря на монотонность, из-за различий в областях определения уравнения не равносильны. Ответ: нет.
