ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \sqrt{x^{5}}-3 \sqrt{x^{3}}-18 \sqrt{x}=0 \)

б) \( \sqrt[4]{x^{9}}-2 \sqrt[4]{x^{5}}-15 \sqrt[4]{x}=0 \)

Решить уравнение методом разложения на множители:

а) \( \sqrt{x^{5}}-3 \sqrt{x^{3}}-18 \sqrt{x}=0 \)

\( \sqrt{x} \cdot\left(\sqrt{x^{4}}-3 \sqrt{x^{2}}-18\right)=0 \)

\( \sqrt{x} \cdot\left(x^{2}-3 x-18\right)=0 \)

Первое уравнение:

\( \sqrt{x}=0 \)

\( x=0 \)

Второе уравнение:

\( x^{2}-3 x-18=0 \)

\( D=3^{2}+4 \cdot 18=9+72=81 \), тогда:

\( x_{1}=(3-9)/2=-3 \) и \( x_{2}=(3+9)/2=6 \)

Выражение имеет смысл при:

\( x \geq 0 \)

Ответ: 0; 6.

б) \( \sqrt[4]{x^{9}}-2 \sqrt[4]{x^{5}}-15 \sqrt[4]{x}=0 \)

\( \sqrt[4]{x} \cdot\left(\sqrt[4]{x^{8}}-2 \sqrt[4]{x^{4}}-15\right)=0 \)

\( \sqrt[4]{x} \cdot\left(x^{2}-2 x-15\right)=0 \)

Первое уравнение:

\( \sqrt[4]{x}=0 \)

\( x=0 \)

Второе уравнение:

\( x^{2}-2 x-15=0 \)

\( D=2^{2}+4 \cdot 15=4+60=64 \), тогда:

\( x_{1}=(2-8)/2=-3 \) и \( x_{2}=(2+8)/2=5 \)

Выражение имеет смысл при:

\( x \geq 0 \)

Ответ: 0; 5.

а) \(\sqrt{x^{5}} — 3\sqrt{x^{3}} — 18\sqrt{x} = 0\)

Шаг 1. Распишем корни по свойству: \(\sqrt{x^n} = x^{n/2}\)

\(\sqrt{x^{5}} = x^{5/2}\), \(\sqrt{x^{3}} = x^{3/2}\), \(\sqrt{x} = x^{1/2}\)

Итак, имеем:

\(x^{5/2} — 3x^{3/2} — 18x^{1/2} = 0\)

Шаг 2. Вынесем общий множитель \(x^{1/2}\) за скобки:

\(x^{1/2} \cdot \left(x^{2} — 3x — 18\right) = 0\)

Так как произведение двух множителей равно нулю, то приравниваем каждый к нулю:

1) \(x^{1/2} = 0\)

\(\Rightarrow \sqrt{x} = 0\)

\(\Rightarrow x = 0\)

2) \(x^{2} — 3x — 18 = 0\)

Решим квадратное уравнение по формуле:

\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\)

Корни уравнения:

\(x_{1} = \frac{-(-3) — \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

\(x_{2} = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6\)

Промежуточный результат: \(x = 0\), \(x = -3\), \(x = 6\)

Шаг 3. Учтём область допустимых значений (ОДЗ):

Подкоренное выражение \(\sqrt{x}\) определено при \(x \geq 0\)

Следовательно, \(x = -3\) — не подходит

Ответ: \(0;\ 6\)

б) \(\sqrt[4]{x^{9}} — 2\sqrt[4]{x^{5}} — 15\sqrt[4]{x} = 0\)

Шаг 1. Распишем корни по свойству: \(\sqrt[4]{x^n} = x^{n/4}\)

\(\sqrt[4]{x^{9}} = x^{9/4}\), \(\sqrt[4]{x^{5}} = x^{5/4}\), \(\sqrt[4]{x} = x^{1/4}\)

Итак, уравнение принимает вид:

\(x^{9/4} — 2x^{5/4} — 15x^{1/4} = 0\)

Шаг 2. Вынесем общий множитель \(x^{1/4}\) за скобки:

\(x^{1/4} \cdot \left(x^{2} — 2x — 15\right) = 0\)

Рассмотрим каждую часть уравнения отдельно:

1) \(x^{1/4} = 0\)

\(\Rightarrow \sqrt[4]{x} = 0\)

\(\Rightarrow x = 0\)

2) \(x^{2} — 2x — 15 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\)

Корни:

\(x_{1} = \frac{-(-2) — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

\(x_{2} = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

Промежуточный результат: \(x = 0\), \(x = -3\), \(x = 5\)

Шаг 3. Проверим область допустимых значений:

Подкоренное выражение \(\sqrt[4]{x}\) определено при \(x \geq 0\)

Значение \(x = -3\) не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: \(0;\ 5\)