ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \(2^{x} \cdot x — 4x — 4 + 2^{x} = 0\);

б) \(3^{x} \cdot x — 3^{x+1} + 27 = 9x\);

Решить уравнение методом разложения на множители:

а) \(2^{x} \cdot x — 4x — 4 + 2^{x} = 0\);

\(2^{x} \cdot (x + 1) — 4(x + 1) = 0\);

\(\left(2^{x} — 4\right)\left(x + 1\right) = 0;\)

Первое уравнение:
\(2^{x} — 4 = 0\);
\(2^{x} = 4\);
\(2^{x} = 2^{2}\);
\(x = 2\);

Второе уравнение:
\(x + 1 = 0\);
\(x = -1\);

Ответ: \(-1;\ 2\)

б) \(3^{x} \cdot x — 3^{x+1} + 27 = 9x\);

\(3^{x} \cdot x — 3^{x} \cdot 3 + 27 — 9x = 0\);

\(3^{x} \cdot (x — 3) — 9(x — 3) = 0\);

\(\left(3^{x} — 9\right)\left(x — 3\right) = 0;\)

Первое уравнение:
\(3^{x} — 9 = 0\);
\(3^{x} = 9\);
\(3^{x} = 3^{2}\);
\(x = 2\);

Второе уравнение:
\(x — 3 = 0\);
\(x = 3\);

Ответ: \(2;\ 3\)

а) \(2^{x} \cdot x — 4x — 4 + 2^{x} = 0\)

Шаг 1. Группируем слагаемые:

\((2^{x} \cdot x + 2^{x}) — (4x + 4) = 0\)

Шаг 2. Вынесем общий множитель из каждой скобки:

\(2^{x} \cdot (x + 1) — 4(x + 1) = 0\)

Шаг 3. Вынесем общий множитель \((x + 1)\) за скобки:

\((2^{x} — 4)(x + 1) = 0\)

Шаг 4. Произведение равно нулю ⇒ хотя бы один из множителей равен нулю:

1) \(2^{x} — 4 = 0\)

⇒ \(2^{x} = 4\)

⇒ \(2^{x} = 2^{2}\)

⇒ \(x = 2\)

2) \(x + 1 = 0\)

⇒ \(x = -1\)

Ответ: \(-1;\ 2\)

б) \(3^{x} \cdot x — 3^{x + 1} + 27 = 9x\)

Шаг 1. Перенесём все члены в одну часть уравнения:

\(3^{x} \cdot x — 3^{x + 1} + 27 — 9x = 0\)

Шаг 2. Преобразуем \(3^{x + 1}\):

\(3^{x + 1} = 3^{x} \cdot 3\)

Тогда уравнение примет вид:

\(3^{x} \cdot x — 3^{x} \cdot 3 + 27 — 9x = 0\)

Шаг 3. Группируем члены:

\((3^{x} \cdot x — 3^{x} \cdot 3) + (27 — 9x) = 0\)

Шаг 4. Вынесем общий множитель из каждой группы:

\(3^{x}(x — 3) — 9(x — 3) = 0\)

Шаг 5. Вынесем общий множитель \((x — 3)\):

\((3^{x} — 9)(x — 3) = 0\)

Шаг 6. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) \(3^{x} — 9 = 0\)

⇒ \(3^{x} = 9\)

⇒ \(3^{x} = 3^{2}\)

⇒ \(x = 2\)

2) \(x — 3 = 0\)

⇒ \(x = 3\)

Ответ: \(2;\ 3\)