ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \(2x^{2} \cdot \sin x — 8 \sin x + 4 = x^{2}\);

б) \(2x^{2} \cdot \cos x + 9 = 18 \cos x + x^{2}\)

Решить уравнение методом разложения на множители:

а) \(2x^{2} \cdot \sin x — 8 \sin x + 4 = x^{2}\);

\(2x^{2} \cdot \sin x — 8 \sin x + 4 — x^{2} = 0\);

\(2 \sin x \cdot (x^{2} — 4) — (x^{2} — 4) = 0\);

\(\left(2 \sin x — 1\right)\left(x^{2} — 4\right) = 0;\)

Первое уравнение:
\(2 \sin x — 1 = 0\);
\(\sin x = \frac{1}{2}\);
\(x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\);

Второе уравнение:
\(x^{2} — 4 = 0\);
\(x^{2} = 4\);
\(x = \pm 2\);

Ответ: \((-1)^{n} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;\ \pm 2\)

б) \(2x^{2} \cdot \cos x + 9 = 18 \cos x + x^{2}\);

\(2x^{2} \cdot \cos x — 18 \cos x + 9 — x^{2} = 0\);

\(2 \cos x \cdot (x^{2} — 9) — (x^{2} — 9) = 0\);

\(\left(2 \cos x — 1\right)\left(x^{2} — 9\right) = 0;\)

Первое уравнение:
\(2 \cos x — 1 = 0\);
\(\cos x = \frac{1}{2}\);
\(x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\);

Второе уравнение:
\(x^{2} — 9 = 0\);
\(x^{2} = 9\);
\(x = \pm 3\);

Ответ: \(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \pm 3\)

а) \(2x^{2} \cdot \sin x — 8 \sin x + 4 = x^{2}\)

Шаг 1. Переносим правую часть в левую:

\(2x^{2} \cdot \sin x — 8 \sin x + 4 — x^{2} = 0\)

Шаг 2. Преобразуем выражение:

Группируем члены: \((2x^{2} \cdot \sin x — 8 \sin x) + (4 — x^{2})\)

Шаг 3. Вынесем общий множитель \(\sin x\) из первой группы:

\(\sin x \cdot (2x^{2} — 8) + (4 — x^{2}) = 0\)

Шаг 4. Преобразуем скобки:

\(2x^{2} — 8 = 2(x^{2} — 4)\),
\(4 — x^{2} = -(x^{2} — 4)\)

Тогда уравнение примет вид:

\(2(x^{2} — 4) \cdot \sin x — (x^{2} — 4) = 0\)

Шаг 5. Вынесем общий множитель \((x^{2} — 4)\):

\((x^{2} — 4)(2 \sin x — 1) = 0\)

Шаг 6. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) \(2 \sin x — 1 = 0\)

⇒ \(\sin x = \frac{1}{2}\)

Общий вид решения:

\(x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n\)

Так как \(\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\), получаем:

\(x = (-1)^{n} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\)

2) \(x^{2} — 4 = 0\)

⇒ \(x^{2} = 4\)

⇒ \(x = \pm 2\)

Ответ: \((-1)^{n} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;\ \pm 2\)

б) \(2x^{2} \cdot \cos x + 9 = 18 \cos x + x^{2}\)

Шаг 1. Переносим правую часть в левую:

\(2x^{2} \cdot \cos x — 18 \cos x + 9 — x^{2} = 0\)

Шаг 2. Группируем члены:

\((2x^{2} \cdot \cos x — 18 \cos x) + (9 — x^{2})\)

Шаг 3. Вынесем общий множитель \(\cos x\) из первой группы:

\(\cos x \cdot (2x^{2} — 18) + (9 — x^{2}) = 0\)

Шаг 4. Преобразуем скобки:

\(2x^{2} — 18 = 2(x^{2} — 9)\),
\(9 — x^{2} = -(x^{2} — 9)\)

Подставляем в уравнение:

\(2(x^{2} — 9) \cdot \cos x — (x^{2} — 9) = 0\)

Шаг 5. Вынесем общий множитель \((x^{2} — 9)\):

\((x^{2} — 9)(2 \cos x — 1) = 0\)

Шаг 6. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) \(2 \cos x — 1 = 0\)

⇒ \(\cos x = \frac{1}{2}\)

Общий вид решения:

\(x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n\)

Так как \(\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}\), получаем:

\(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\)

2) \(x^{2} — 9 = 0\)

⇒ \(x^{2} = 9\)

⇒ \(x = \pm 3\)

Ответ: \(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \pm 3\)