Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sin 2x = \sin x \);
б) \( \cos^2(\pi — x) + \sin 2x = 0 \);
в) \( \sqrt{3} \cos 3x = \sin 6x \);
г) \( \sin^2(\pi + x/2) — 1/2 \sin x = 0 \)
Решить уравнение методом разложения на множители:
а) \( \sin 2x = \sin x \);
\( 2 \sin x \cdot \cos x — \sin x = 0 \);
\( \sin x \cdot (2 \cos x — 1) = 0 \);
Первое уравнение:
\( \sin x = 0 \);
\( x = \pi n \);
Второе уравнение:
\( 2 \cos x — 1 = 0 \);
\( \cos x = \frac{1}{2} \);
\( x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \);
Ответ: \( \pi n; \ \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \).
б) \( \cos^2(\pi — x) + \sin 2x = 0 \);
\( \cos^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x = 0 \);
\( \cos x \cdot (\cos x + 2 \sin x) = 0 \);
Первое уравнение:
\( \cos x = 0 \);
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \);
Второе уравнение:
\( \cos x + 2 \sin x = 0 \ \mid : \cos x \);
\( 1 + 2 {tg} x = 0 \);
\( {tg} x = -\frac{1}{2} \);
\( x = -{arctg} \frac{1}{2} + \pi n \);
Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n; \ -{arctg} \frac{1}{2} + \pi n \).
в) \( \sqrt{3} \cos 3x = \sin 6x \);
\( 2 \sin 3x \cdot \cos 3x — \sqrt{3} \cos 3x = 0 \);
\( \cos 3x \cdot (2 \sin 3x — \sqrt{3}) = 0 \);
Первое уравнение:
\( \cos 3x = 0 \);
\( 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \);
\( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} \);
Второе уравнение:
\( 2 \sin 3x — \sqrt{3} = 0 \);
\( \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( 3x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \);
\( x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \);
Ответ: \( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; \ (-1)^n \cdot \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \).
г) \( \sin^2(\pi + \frac{x}{2}) — \frac{1}{2} \sin x = 0 \);
\( \sin^2(\frac{x}{2}) — \frac{1}{2} \cdot 2 \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2}) = 0 \);
\( \sin(\frac{x}{2}) \cdot (\sin(\frac{x}{2}) — \cos(\frac{x}{2})) = 0 \);
Первое уравнение:
\( \sin(\frac{x}{2}) = 0 \);
\( \frac{x}{2} = \pi n \);
\( x = 2\pi n \);
Второе уравнение:
\( \sin(\frac{x}{2}) — \cos(\frac{x}{2}) = 0 \ \mid : \cos(\frac{x}{2}) \);
\( {tg}(\frac{x}{2}) — 1 = 0 \);
\( {tg}(\frac{x}{2}) = 1 \);
\( \frac{x}{2} = {arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \);
\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \);
Ответ: \( 2\pi n; \ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \).
а) \( \sin 2x = \sin x \)
Используем формулу: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)
Подставим в уравнение:
\( 2 \sin x \cos x = \sin x \)
Перенесём всё в одну часть:
\( 2 \sin x \cos x — \sin x = 0 \)
Вынесем \( \sin x \) за скобки:
\( \sin x (2 \cos x — 1) = 0 \)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Первый множитель: \( \sin x = 0 \)
Общий корень: \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
Второй множитель: \( 2 \cos x — 1 = 0 \)
Решим:
\( \cos x = \frac{1}{2} \)
Общий вид решений:
\( x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \)
Ответ: \( x = \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \)
б) \( \cos^2(\pi — x) + \sin 2x = 0 \)
Используем тождество: \( \cos(\pi — x) = -\cos x \)
Тогда: \( \cos^2(\pi — x) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x \)
Также \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)
Подставим в уравнение:
\( \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0 \)
Вынесем \( \cos x \) за скобки:
\( \cos x (\cos x + 2 \sin x) = 0 \)
Первый множитель: \( \cos x = 0 \)
Общий вид решений: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
Второй множитель: \( \cos x + 2 \sin x = 0 \)
Разделим обе части на \( \cos x \), если \( \cos x \ne 0 \):
\( 1 + 2 {tg} x = 0 \)
\( {tg} x = -\frac{1}{2} \)
\( x = -{arctg} \frac{1}{2} + \pi n \)
Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = -{arctg} \frac{1}{2} + \pi n \)
в) \( \sqrt{3} \cos 3x = \sin 6x \)
Используем формулу: \( \sin 6x = 2 \sin 3x \cos 3x \)
Подставим в уравнение:
\( \sqrt{3} \cos 3x = 2 \sin 3x \cos 3x \)
Переносим всё в одну часть:
\( 2 \sin 3x \cos 3x — \sqrt{3} \cos 3x = 0 \)
Вынесем \( \cos 3x \):
\( \cos 3x (2 \sin 3x — \sqrt{3}) = 0 \)
Первый множитель: \( \cos 3x = 0 \)
\( 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} \)
Второй множитель: \( 2 \sin 3x — \sqrt{3} = 0 \)
\( \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Общий вид решений:
\( 3x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \)
\( x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \)
Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; \quad x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \)
г) \( \sin^2\left(\pi + \frac{x}{2}\right) — \frac{1}{2} \sin x = 0 \)
Поскольку \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \), получаем:
\( \sin^2\left(\pi + \frac{x}{2}\right) = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \)
Также \( \sin x = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) \)
Подставим всё в уравнение:
\( \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) — \frac{1}{2} \cdot 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \)
\( \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) — \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \)
Вынесем \( \sin\left(\frac{x}{2}\right) \):
\( \sin\left(\frac{x}{2}\right) \left( \sin\left(\frac{x}{2}\right) — \cos\left(\frac{x}{2}\right) \right) = 0 \)
Первый множитель: \( \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n \)
Второй множитель: \( \sin\left(\frac{x}{2}\right) — \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \)
Разделим на \( \cos\left(\frac{x}{2}\right) \), если \( \ne 0 \):
\( {tg}\left(\frac{x}{2}\right) = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = {arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \)
\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
Ответ: \( x = 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
