ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение методом введения новой переменной:

а) \( 8x^6 + 7x^3 — 1 = 0 \);

б) \( x^8 + 3x^4 — 4 = 0 \)

Решить уравнение методом введения новой переменной:

а) \( 8x^6 + 7x^3 — 1 = 0 \);

Пусть \( y = x^3 \), тогда:

\( 8y^2 + 7y — 1 = 0 \);

\( D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81 \), тогда:

\( y_1 = \frac{-7 — 9}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1 \);

\( y_2 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \);

Первое значение:

\( x^3 = -1 \);

\( x = \sqrt[3]{-1} = -1 \);

Второе значение:

\( x^3 = \frac{1}{8} \);

\( x^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 \);

\( x = \frac{1}{2} = 0{,}5 \);

Ответ: \( -1; \ 0{,}5 \).

б) \( x^8 + 3x^4 — 4 = 0 \);

Пусть \( y = x^4 \), тогда:

\( y^2 + 3y — 4 = 0 \);

\( D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25 \), тогда:

\( y_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \);

Первое значение:

\( x^4 = -4 \);

\( x \in ø \);

Второе значение:

\( x^4 = 1 \);

\( x = \pm \sqrt[4]{1} = \pm 1 \);

Ответ: \( \pm 1 \).

а) \( 8x^6 + 7x^3 — 1 = 0 \)

Пусть \( y = x^3 \). Тогда исходное уравнение примет вид:

\( 8y^2 + 7y — 1 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение по формуле:

\( D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81 \)

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня:

\( y_1 = \frac{-7 — \sqrt{81}}{2 \cdot 8} = \frac{-7 — 9}{16} = \frac{-16}{16} = -1 \)

\( y_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 8} = \frac{-7 + 9}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \)

Теперь вернёмся к переменной \( x \):

Первое значение:

\( x^3 = -1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-1} = -1 \)

Второе значение:

\( x^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \sqrt[3]{\left( \frac{1}{2} \right)^3} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{1}{2} = 0{,}5 \)

Ответ: \( -1; \ 0{,}5 \)

б) \( x^8 + 3x^4 — 4 = 0 \)

Пусть \( y = x^4 \). Тогда уравнение преобразуется в:

\( y^2 + 3y — 4 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 — 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

\( y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Переходим обратно к переменной \( x \):

Первое значение:

\( x^4 = -4 \). Так как четная степень не может быть отрицательной при вещественных \( x \), решений нет:

\( x \in ø \)

Второе значение:

\( x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm \sqrt[4]{1} = \pm 1 \)

Ответ: \( \pm 1 \)