ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \sqrt{x^{2}+1-2x} — 6\sqrt{x-1} = 7 \);

б) \( \sqrt{x^{2} — 4x + 4} — 6 = 5\sqrt{2 — x} \)

Решить уравнение методом введения новой переменной:

а) \( \sqrt{x^{2}+1-2x} — 6\sqrt{x-1} = 7 \);

\( \sqrt{(x-1)^{2}} — 6\sqrt{x-1} — 7 = 0 \);

Пусть \( y = \sqrt{x-1} \), тогда:

\( y^{2} — 6y — 7 = 0 \);

\( D = 6^{2} + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64 \), тогда:

\( y_{1} = \frac{6 — 8}{2} = -1 \) и \( y_{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7 \);

Первое значение:

\( \sqrt{x-1} = -1 \);

\( x \in ø \);

Второе значение:

\( \sqrt{x-1} = 7 \);

\( x — 1 = 49 \);

\( x = 50 \);

Ответ: \( 50 \)

б) \( \sqrt{x^{2} — 4x + 4} — 6 = 5\sqrt{2 — x} \);

\( \sqrt{(2 — x)^{2}} — 5\sqrt{2 — x} — 6 = 0 \);

Пусть \( y = \sqrt{2 — x} \), тогда:

\( y^{2} — 5y — 6 = 0 \);

\( D = 5^{2} + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49 \), тогда:

\( y_{1} = \frac{5 — 7}{2} = -1 \) и \( y_{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6 \);

Первое значение:

\( \sqrt{2 — x} = -1 \);

\( x \in ø \);

Второе значение:

\( \sqrt{2 — x} = 6 \);

\( 2 — x = 36 \);

\( x = -34 \);

Ответ: \( -34 \)

а) \( \sqrt{x^2 + 1 — 2x} — 6\sqrt{x — 1} = 7 \)

Заметим, что подкоренное выражение \( x^2 + 1 — 2x \) можно упростить:

\( x^2 + 1 — 2x = (x — 1)^2 \)

Тогда уравнение принимает вид:

\( \sqrt{(x — 1)^2} — 6\sqrt{x — 1} = 7 \)

Так как \( \sqrt{(x — 1)^2} = |x — 1| \), а подкоренное выражение \( \sqrt{x — 1} \) определено при \( x \geq 1 \), то:

\( |x — 1| = x — 1 \), так как \( x — 1 \geq 0 \)

Получаем уравнение:

\( x — 1 — 6\sqrt{x — 1} = 7 \)

Введём замену: \( y = \sqrt{x — 1} \). Тогда \( x = y^2 + 1 \)

Подставим в уравнение:

\( y^2 + 1 — 1 — 6y = 7 \Rightarrow y^2 — 6y = 7 \)

Переносим всё в одну часть:

\( y^2 — 6y — 7 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-6)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 + 28 = 64 \)

Корни:

\( y_1 = \frac{6 — 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

\( y_2 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

Рассмотрим каждое значение:

1) \( y = -1 \Rightarrow \sqrt{x — 1} = -1 \). Это невозможно, так как корень не может быть отрицательным ⇒ нет решений.

2) \( y = 7 \Rightarrow \sqrt{x — 1} = 7 \)

Возведем обе части в квадрат:

\( x — 1 = 49 \Rightarrow x = 50 \)

Ответ: \( 50 \)

б) \( \sqrt{x^2 — 4x + 4} — 6 = 5\sqrt{2 — x} \)

Упростим подкоренное выражение слева:

\( x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2 \Rightarrow \sqrt{(x — 2)^2} = |x — 2| \)

Рассмотрим область определения правой части: \( \sqrt{2 — x} \) ⇒ \( x \leq 2 \)

Следовательно, \( x — 2 \leq 0 \Rightarrow |x — 2| = -(x — 2) = 2 — x \)

Подставим в уравнение:

\( 2 — x — 6 = 5\sqrt{2 — x} \Rightarrow -x — 4 = 5\sqrt{2 — x} \)

Умножим обе части на -1:

\( x + 4 = -5\sqrt{2 — x} \)

Правая часть отрицательна, но левая часть \( x + 4 \geq 0 \) при \( x \geq -4 \)

Таким образом, \( x + 4 \geq 0 \), а \( -5\sqrt{2 — x} \leq 0 \)

Для равенства необходимо, чтобы обе части были равны нулю:

\( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)

Проверим: \( 2 — (-4) = 6 \Rightarrow \sqrt{6} \approx 2.45 \)

\( \text{Правая часть: } -5\sqrt{6} \approx -12.25 \)

\( \text{Левая часть: } -4 — (-4) = 0 \)

Не совпадает ⇒ подставим замену, как в пункте а:

Пусть \( y = \sqrt{2 — x} \), тогда \( 2 — x = y^2 \Rightarrow x = 2 — y^2 \)

Подставим в исходное уравнение:

\( \sqrt{(2 — y^2)^2 — 4(2 — y^2) + 4} — 6 = 5y \)

Упростим подкоренное выражение (лучше вернуться к изначальной замене):

Второй путь — вернуться к шагу:

\( \sqrt{(2 — x)^2} — 5\sqrt{2 — x} — 6 = 0 \)

\( \sqrt{(2 — x)^2} = |2 — x| = 2 — x \), так как \( x \leq 2 \)

Тогда:

\( 2 — x — 5\sqrt{2 — x} — 6 = 0 \Rightarrow -x — 4 = 5\sqrt{2 — x} \)

\( x + 4 = -5\sqrt{2 — x} \) — то же самое

Введём замену: \( y = \sqrt{2 — x} \Rightarrow x = 2 — y^2 \)

Подставим в уравнение:

\( \sqrt{(2 — y^2)^2 — 4(2 — y^2) + 4} — 6 = 5y \)

Это сложно, используем сразу:

Исходное уравнение: \( \sqrt{(2 — x)^2} — 5\sqrt{2 — x} — 6 = 0 \)

Пусть \( y = \sqrt{2 — x} \Rightarrow 2 — x = y^2 \Rightarrow x = 2 — y^2 \)

Подставим:

\( \sqrt{(y^2)^2} — 5y — 6 = 0 \Rightarrow y^2 — 5y — 6 = 0 \)

Решим:

\( D = (-5)^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49 \)

\( y_1 = \frac{5 — 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \), \( y_2 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

1) \( y = -1 \) — не подходит, корень не может быть отрицательным

2) \( y = 6 \Rightarrow \sqrt{2 — x} = 6 \Rightarrow 2 — x = 36 \Rightarrow x = -34 \)

Ответ: \( -34 \)