Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sqrt{\frac{2x + 3}{2x — 1}} + 4\sqrt{\frac{2x — 1}{2x + 3}} = 4 \);
б) \( \sqrt{\frac{5x — 1}{x + 3}} + 5\sqrt{\frac{x + 3}{5x — 1}} = 6 \)
Решить уравнение методом введения новой переменной:
а) \( \sqrt{\frac{2x + 3}{2x — 1}} + 4\sqrt{\frac{2x — 1}{2x + 3}} = 4 \);
Пусть \( y = \sqrt{\frac{2x + 3}{2x — 1}} \), тогда:
\( y + \frac{4}{y} = 4 \);
\( y — 4 + \frac{4}{y} = 0 \quad \Rightarrow \cdot y \);
\( y^2 — 4y + 4 = 0 \);
\( (y — 2)^2 = 0 \);
\( y — 2 = 0 \);
\( y = 2 \);
Вернём замену:
\( \sqrt{\frac{2x + 3}{2x — 1}} = 2 \);
Возведём обе части в квадрат:
\( \frac{2x + 3}{2x — 1} = 4 \);
\( 2x + 3 = 4(2x — 1) \);
\( 2x + 3 = 8x — 4 \);
\( 6x = 7 \);
\( x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \);
Ответ: \( 1\frac{1}{6} \)
б) \( \sqrt{\frac{5x — 1}{x + 3}} + 5\sqrt{\frac{x + 3}{5x — 1}} = 6 \);
Пусть \( y = \sqrt{\frac{5x — 1}{x + 3}} \), тогда:
\( y + \frac{5}{y} = 6 \);
\( y — 6 + \frac{5}{y} = 0 \quad \Rightarrow \cdot y \);
\( y^2 — 6y + 5 = 0 \);
\( D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 \), тогда:
\( y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \);
Первое значение:
\( \sqrt{\frac{5x — 1}{x + 3}} = 1 \Rightarrow \frac{5x — 1}{x + 3} = 1 \);
\( 5x — 1 = x + 3 \);
\( 4x = 4 \);
\( x = 1 \);
Второе значение:
\( \sqrt{\frac{5x — 1}{x + 3}} = 5 \Rightarrow \frac{5x — 1}{x + 3} = 25 \);
\( 5x — 1 = 25(x + 3) \);
\( 5x — 1 = 25x + 75 \);
\( 20x = -76 \);
\( x = -\frac{76}{20} = -3.8 \);
Ответ: \( 1; -3.8 \)
Решить уравнение методом введения новой переменной:
а) \( \sqrt{\frac{2x + 3}{2x — 1}} + 4\sqrt{\frac{2x — 1}{2x + 3}} = 4 \)
Введём новую переменную:
Пусть \( y = \sqrt{\frac{2x + 3}{2x — 1}} \). Тогда:
\( \frac{2x — 1}{2x + 3} = \frac{1}{y^2} \Rightarrow \sqrt{\frac{2x — 1}{2x + 3}} = \frac{1}{y} \)
Уравнение принимает вид:
\( y + \frac{4}{y} = 4 \)
Приведем уравнение к стандартному виду:
\( y + \frac{4}{y} — 4 = 0 \)
Умножим обе части на \( y \) (так как \( y > 0 \)):
\( y^2 — 4y + 4 = 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 — 16 = 0 \)
Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:
\( y = \frac{4}{2} = 2 \)
Теперь вернемся к исходной переменной:
\( \sqrt{\frac{2x + 3}{2x — 1}} = 2 \)
Возведем обе части в квадрат:
\( \frac{2x + 3}{2x — 1} = 4 \)
Решим полученное уравнение:
\( 2x + 3 = 4(2x — 1) \)
\( 2x + 3 = 8x — 4 \)
\( 3 + 4 = 8x — 2x \Rightarrow 7 = 6x \)
\( x = \frac{7}{6} \)
Преобразуем в смешанное число:
\( x = 1 \frac{1}{6} \)
Ответ: \( 1 \frac{1}{6} \)
б) \( \sqrt{\frac{5x — 1}{x + 3}} + 5\sqrt{\frac{x + 3}{5x — 1}} = 6 \)
Введём новую переменную:
Пусть \( y = \sqrt{\frac{5x — 1}{x + 3}} \), тогда:
\( \sqrt{\frac{x + 3}{5x — 1}} = \frac{1}{y} \)
Уравнение перепишем как:
\( y + \frac{5}{y} = 6 \)
Приводим к стандартному виду:
\( y + \frac{5}{y} — 6 = 0 \)
Умножим обе части на \( y \) (так как \( y > 0 \)):
\( y^2 — 6y + 5 = 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 \)
Корни:
\( y_1 = \frac{6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{6 — 4}{2} = 1 \)
\( y_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \)
Первый корень:
\( \sqrt{\frac{5x — 1}{x + 3}} = 1 \Rightarrow \frac{5x — 1}{x + 3} = 1 \)
\( 5x — 1 = x + 3 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1 \)
Второй корень:
\( \sqrt{\frac{5x — 1}{x + 3}} = 5 \Rightarrow \frac{5x — 1}{x + 3} = 25 \)
\( 5x — 1 = 25(x + 3) \Rightarrow 5x — 1 = 25x + 75 \)
\( -1 — 75 = 25x — 5x \Rightarrow -76 = 20x \Rightarrow x = -\frac{76}{20} = -3.8 \)
Ответ: \( 1; -3.8 \)
