Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( 2^x + 2^{1 — x} = 3 \);
б) \( 25^{-x} — 50 = 5^{-x + 1} \);
в) \( 5^x + 4 = 5^{2x + 1} \);
г) \( 3^{x + 1} — 29 = -18 \cdot 3^{-x} \)
Решить уравнение методом введения новой переменной:
а) \( 2^x + 2^{1 — x} = 3 \);
\( 2^x — 3 + \frac{2}{2^x} = 0 \);
Пусть \( y = 2^x \), тогда:
\( y — 3 + \frac{2}{y} = 0 \quad \cdot y \);
\( y^2 — 3y + 2 = 0 \);
\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \), тогда:
\( y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \), \( y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \);
Первое значение:
\( 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x = 0 \);
Второе значение:
\( 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 \);
Ответ: \( 0; \ 1 \)
б) \( 25^{-x} — 50 = 5^{-x + 1} \);
\( 5^{-2x} — 5 \cdot 5^{-x} — 50 = 0 \);
Пусть \( y = 5^{-x} \), тогда:
\( y^2 — 5y — 50 = 0 \);
\( D = 5^2 + 4 \cdot 50 = 25 + 200 = 225 \), тогда:
\( y_1 = \frac{5 — 15}{2} = -5 \), \( y_2 = \frac{5 + 15}{2} = 10 \);
Первое значение:
\( 5^{-x} = -5 \Rightarrow x \in ø \);
Второе значение:
\( 5^{-x} = 10 \Rightarrow -x = \log_5 10 \Rightarrow x = -\log_5 10 \);
Ответ: \( -\log_5 10 \)
в) \( 5^x + 4 = 5^{2x + 1} \);
\( 5 \cdot 5^{2x} — 5^x — 4 = 0 \);
Пусть \( y = 5^x \), тогда:
\( 5y^2 — y — 4 = 0 \);
\( D = 1^2 + 4 \cdot 5 \cdot 4 = 1 + 80 = 81 \), тогда:
\( y_1 = \frac{1 — 9}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8 \);
\( y_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \);
Первое значение:
\( 5^x = -0.8 \Rightarrow x \in ø \);
Второе значение:
\( 5^x = 1 \Rightarrow 5^x = 5^0 \Rightarrow x = 0 \);
Ответ: \( 0 \)
г) \( 3^{x + 1} — 29 = -18 \cdot 3^{-x} \);
\( 3 \cdot 3^x — 29 + \frac{18}{3^x} = 0 \);
Пусть \( y = 3^x \), тогда:
\( 3y — 29 + \frac{18}{y} = 0 \quad \cdot y \);
\( 3y^2 — 29y + 18 = 0 \);
\( D = 29^2 — 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 — 216 = 625 \), тогда:
\( y_1 = \frac{29 — 25}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \);
\( y_2 = \frac{29 + 25}{6} = \frac{54}{6} = 9 \);
Первое значение:
\( 3^x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \log_3 \frac{2}{3} = \log_3 2 — \log_3 3 = \log_3 2 — 1 \);
Второе значение:
\( 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2 \);
Ответ: \( \log_3 2 — 1; \ 2 \)
Решить уравнение методом введения новой переменной:
а) \( 2^x + 2^{1 — x} = 3 \)
Преобразуем второе слагаемое: \( 2^{1 — x} = \frac{2}{2^x} \)
Тогда уравнение перепишется как:
\( 2^x + \frac{2}{2^x} = 3 \)
Переносим 3 в левую часть:
\( 2^x — 3 + \frac{2}{2^x} = 0 \)
Введём замену: \( y = 2^x \Rightarrow \frac{1}{y} = 2^{-x} \)
Получаем:
\( y — 3 + \frac{2}{y} = 0 \)
Умножим обе части на \( y \) (так как \( y > 0 \)):
\( y^2 — 3y + 2 = 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \)
Находим корни:
\( y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \), \( y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)
Первое значение:
\( y = 1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow x = 0 \)
Второе значение:
\( y = 2 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 \)
Ответ: \( 0; 1 \)
б) \( 25^{-x} — 50 = 5^{-x + 1} \)
Заметим: \( 25 = 5^2 \Rightarrow 25^{-x} = (5^2)^{-x} = 5^{-2x} \)
Также: \( 5^{-x + 1} = 5 \cdot 5^{-x} \)
Получаем уравнение:
\( 5^{-2x} — 50 = 5 \cdot 5^{-x} \)
Переносим всё в левую часть:
\( 5^{-2x} — 5 \cdot 5^{-x} — 50 = 0 \)
Введём замену: \( y = 5^{-x} \Rightarrow y^2 = 5^{-2x} \)
Тогда уравнение станет:
\( y^2 — 5y — 50 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = (-5)^2 + 4 \cdot 50 = 25 + 200 = 225 \)
Корни:
\( y_1 = \frac{5 — 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
\( y_2 = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
Первое значение:
\( 5^{-x} = -5 \Rightarrow \text{не имеет смысла, так как степенная функция}\)
\({положительна} \Rightarrow x \in ø \)
Второе значение:
\( 5^{-x} = 10 \Rightarrow -x = \log_5 10 \Rightarrow x = -\log_5 10 \)
Ответ: \( -\log_5 10 \)
в) \( 5^x + 4 = 5^{2x + 1} \)
Правая часть: \( 5^{2x + 1} = 5 \cdot 5^{2x} \)
Уравнение: \( 5^x + 4 = 5 \cdot 5^{2x} \)
Переносим все члены в одну сторону:
\( 5 \cdot 5^{2x} — 5^x — 4 = 0 \)
Введём замену: \( y = 5^x \Rightarrow y^2 = 5^{2x} \)
Получим квадратное уравнение:
\( 5y^2 — y — 4 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = (-1)^2 + 4 \cdot 5 \cdot 4 = 1 + 80 = 81 \)
Корни:
\( y_1 = \frac{1 — 9}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8 \)
\( y_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \)
Первое значение:
\( 5^x = -0.8 \Rightarrow x \in ø \), так как \( 5^x > 0 \)
Второе значение:
\( 5^x = 1 \Rightarrow x = 0 \)
Ответ: \( 0 \)
г) \( 3^{x+1} — 29 = -18 \cdot 3^{-x} \)
Левая часть: \( 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x \)
Правая часть: \( 3^{-x} = \frac{1}{3^x} \Rightarrow -18 \cdot \frac{1}{3^x} = \frac{-18}{3^x} \)
Уравнение: \( 3 \cdot 3^x — 29 = \frac{-18}{3^x} \)
Переносим всё в одну часть:
\( 3 \cdot 3^x — 29 + \frac{18}{3^x} = 0 \)
Введём замену: \( y = 3^x \Rightarrow \frac{1}{y} = 3^{-x} \)
Получим уравнение:
\( 3y — 29 + \frac{18}{y} = 0 \)
Умножим на \( y \):
\( 3y^2 — 29y + 18 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = (-29)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 — 216 = 625 \)
Корни:
\( y_1 = \frac{29 — 25}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( y_2 = \frac{29 + 25}{6} = \frac{54}{6} = 9 \)
Первое значение:
\( 3^x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \log_3 \frac{2}{3} = \log_3 2 — \log_3 3 = \log_3 2 — 1 \)
Второе значение:
\( 3^x = 9 \Rightarrow x = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \)
Ответ: \( \log_3 2 — 1; \ 2 \)
