ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( 7^{2x+1} — 50 \cdot 7^x = -7 \);

б) \( \log_2^2 x + 12 = 7 \log_2 x \);

в) \( 4 \sin^2 x + 4 = 17 \sin x \);

г) \( \sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 2 = 0 \)

Решить уравнение методом введения новой переменной:

а) \( 7^{2x+1} — 50 \cdot 7^x = -7 \);

\( 7^{2x} \cdot 7 — 50 \cdot 7^x + 7 = 0 \);

Пусть \( y = 7^x \), тогда:

\( 7y^2 — 50y + 7 = 0 \);

\( D = 50^2 — 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 — 196 = 2304 \), тогда:

\( y_1 = \frac{50 — 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} \);

\( y_2 = \frac{50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7 \);

Первое значение:

\( 7^x = \frac{1}{7} \Rightarrow 7^x = 7^{-1} \Rightarrow x = -1 \);

Второе значение:

\( 7^x = 7 \Rightarrow x = 1 \);

Ответ: \( -1; \ 1 \)

б) \( \log_2^2 x + 12 = 7 \log_2 x \);

Пусть \( y = \log_2 x \), тогда:

\( y^2 + 12 = 7y \Rightarrow y^2 — 7y + 12 = 0 \);

\( D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1 \), тогда:

\( y_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3 \), \( y_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \);

Первое значение:

\( \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8 \);

Второе значение:

\( \log_2 x = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16 \);

Ответ: \( 8; \ 16 \)

в) \( 4 \sin^2 x + 4 = 17 \sin x \);

Пусть \( y = \sin x \), тогда:

\( 4y^2 + 4 = 17y \Rightarrow 4y^2 — 17y + 4 = 0 \);

\( D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225 \), тогда:

\( y_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \);

\( y_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4 \);

Первое значение:

\( \sin x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n \);

Второе значение:

\( \sin x = 4 \Rightarrow x \in ø \);

Ответ: \( (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n \)

г) \( \sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 2 = 0 \);

Пусть \( y = \sqrt[6]{x} \Rightarrow y^2 = \sqrt[3]{x} \), тогда:

\( y^2 — y — 2 = 0 \);

\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда:

\( y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \), \( y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \);

Первое значение:

\( \sqrt[6]{x} = -1 \Rightarrow x \in ø \);

Второе значение:

\( \sqrt[6]{x} = 2 \Rightarrow x = 2^6 = 64 \);

Ответ: \( 64 \)

а) \( 7^{2x+1} — 50 \cdot 7^x = -7 \)

Преобразуем первое слагаемое с помощью свойства степеней:

\( 7^{2x+1} = 7 \cdot 7^{2x} \)

Тогда уравнение принимает вид:

\( 7 \cdot 7^{2x} — 50 \cdot 7^x + 7 = 0 \)

Введем замену: \( y = 7^x \Rightarrow y^2 = 7^{2x} \)

Подставим в уравнение:

\( 7y^2 — 50y + 7 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-50)^2 — 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 — 196 = 2304 \)

\( \sqrt{D} = 48 \)

\( y_1 = \frac{50 — 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} \)

\( y_2 = \frac{50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7 \)

Вернемся к переменной \( x \):

1) \( 7^x = \frac{1}{7} \Rightarrow 7^x = 7^{-1} \Rightarrow x = -1 \)

2) \( 7^x = 7 \Rightarrow x = 1 \)

Ответ: \( -1; \ 1 \)

б) \( \log_2^2 x + 12 = 7 \log_2 x \)

Введем замену: \( y = \log_2 x \)

Получим уравнение:

\( y^2 + 12 = 7y \Rightarrow y^2 — 7y + 12 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1 \)

\( y_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3 \)

\( y_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \)

Вернемся к переменной \( x \):

1) \( \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8 \)

2) \( \log_2 x = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16 \)

Ответ: \( 8; \ 16 \)

в) \( 4 \sin^2 x + 4 = 17 \sin x \)

Введем замену: \( y = \sin x \)

Получим уравнение:

\( 4y^2 + 4 = 17y \Rightarrow 4y^2 — 17y + 4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-17)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225 \)

\( \sqrt{D} = 15 \)

\( y_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

\( y_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4 \)

Рассмотрим каждое значение:

1) \( \sin x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n \)

2) \( \sin x = 4 \Rightarrow \text{так как } |\sin x| \leq 1, \text{ решений нет} \Rightarrow x \in ø \)

Ответ: \( (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n \)

г) \( \sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 2 = 0 \)

Введем замену: \( y = \sqrt[6]{x} \Rightarrow y^2 = \sqrt[3]{x} \)

Подставим в уравнение:

\( y^2 — y — 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \)

\( \sqrt{D} = 3 \)

\( y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \)

\( y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

Первое значение:

\( \sqrt[6]{x} = -1 \Rightarrow x \in ø \), так как корень четной степени от положительного не может быть отрицательным

Второе значение:

\( \sqrt[6]{x} = 2 \Rightarrow x = 2^6 = 64 \)

Ответ: \( 64 \)