ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( 2^{\sqrt{x — 3}} = \frac{1}{2} \sqrt{32}; \)

б) \( 10^{\log_{2}(x — 3)} \cdot 0{,}00001 = 0{,}1^{\log_{2}(x — 7)} \)

Решить уравнение:

а) \( 2^{\sqrt{x — 3}} = \frac{1}{2} \sqrt{32}; \)

\( 2^{\sqrt{x — 3}} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}; \)

\( 2^{\sqrt{x — 3}} = 2^{\frac{3}{2}}; \)

\( \sqrt{x — 3} = \frac{3}{2}; \)

\( x — 3 = \frac{9}{4}; \)

\( x = \frac{9}{4} + 3 = 2{,}25 + 3 = 5{,}25; \)

Выражение имеет смысл при:

\( x — 3 \geq 0; \)

\( x \geq 3; \)

Ответ: 5,25.

б) \( 10^{\log_{2}(x — 3)} \cdot 0{,}00001 = 0{,}1^{\log_{2}(x — 7)}; \)

\( 10^{\log_{2}(x — 3)} \cdot 10^{-5} = 10^{-\log_{2}(x — 7)}; \)

\( 10^{\log_{2}(x — 3) — 5} = 10^{-\log_{2}(x — 7)}; \)

\( \log_{2}(x — 3) — 5 = -\log_{2}(x — 7); \)

\( \log_{2}(x — 3) + \log_{2}(x — 7) = \log_{2} 2^{5}; \)

\( \log_{2}((x — 3)(x — 7)) = \log_{2} 32; \)

\( (x — 3)(x — 7) = 32; \)

\( x^{2} — 7x — 3x + 21 = 32; \)

\( x^{2} — 10x — 11 = 0; \)

\( D = 10^{2} + 4 \cdot 11 = 100 + 44 = 144, \) тогда:

\( x_{1} = \frac{10 — 12}{2} = -1 \) и \( x_{2} = \frac{10 + 12}{2} = 11; \)

Выражение имеет смысл при:

\( x — 3 > 0 \Rightarrow x > 3; \)

\( x — 7 > 0 \Rightarrow x > 7; \)

Ответ: 11.

а) \( 2^{\sqrt{x — 3}} = \frac{1}{2} \sqrt{32} \)

Шаг 1: упростим правую часть уравнения.

Представим числа как степени двойки:

• \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \)
• \( \sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{\frac{5}{2}} \)

Тогда правая часть:

\( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{5}{2}} \)

Шаг 2: воспользуемся свойством степеней:

\( 2^{-1} \cdot 2^{\frac{5}{2}} = 2^{-1 + \frac{5}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \)

Итак, уравнение становится:

\( 2^{\sqrt{x — 3}} = 2^{\frac{3}{2}} \)

Шаг 3: основания одинаковые, следовательно, показатели равны:

\( \sqrt{x — 3} = \frac{3}{2} \)

Шаг 4: возведём обе части в квадрат:

\( (\sqrt{x — 3})^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \Rightarrow x — 3 = \frac{9}{4} \)

Шаг 5: найдём \( x \):

\( x = \frac{9}{4} + 3 = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = \frac{21}{4} \)

\( x = 5,25 \)

Шаг 6: проверим область допустимых значений (ОДЗ):

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\( x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \)

Найденное значение \( x = 5{,}25 \geq 3 \), удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5{,}25

б) \( 10^{\log_{2}(x — 3)} \cdot 0{,}00001 = 0{,}1^{\log_{2}(x — 7)} \)

Шаг 1: заменим десятичные числа степенями десяти.

• \( 0{,}00001 = 10^{-5} \)
• \( 0{,}1 = \frac{1}{10} = 10^{-1} \Rightarrow 0{,}1^{\log_{2}(x — 7)} = 10^{-\log_{2}(x — 7)} \)

Уравнение примет вид:

\( 10^{\log_{2}(x — 3)} \cdot 10^{-5} = 10^{-\log_{2}(x — 7)} \)

Шаг 2: применим свойство степени произведения:

\( 10^{\log_{2}(x — 3) — 5} = 10^{-\log_{2}(x — 7)} \)

Шаг 3: основания одинаковые, приравниваем показатели:

\( \log_{2}(x — 3) — 5 = -\log_{2}(x — 7) \)

Шаг 4: перенесём логарифм влево:

\( \log_{2}(x — 3) + \log_{2}(x — 7) = 5 \)

Шаг 5: применим формулу суммы логарифмов:

\( \log_{2}((x — 3)(x — 7)) = 5 \)

Шаг 6: преобразуем логарифмическое равенство в показательное:

\( (x — 3)(x — 7) = 2^5 = 32 \)

Шаг 7: раскроем скобки:

\( x^2 — 7x — 3x + 21 = 32 \)

\( x^2 — 10x + 21 = 32 \Rightarrow x^2 — 10x — 11 = 0 \)

Шаг 8: решим квадратное уравнение:

Найдём дискриминант:

\( D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144 \)

Корни уравнения:

\( x = \frac{10 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{10 \pm 12}{2} \)

• \( x_1 = \frac{10 — 12}{2} = -1 \)
• \( x_2 = \frac{10 + 12}{2} = 11 \)

Шаг 9: проверим область допустимых значений (ОДЗ):

Логарифмы существуют только при положительных аргументах:

• \( x — 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \)
• \( x — 7 > 0 \Rightarrow x > 7 \)

Совместная ОДЗ: \( x > 7 \)

Проверим корни:

• \( x = -1 \): не удовлетворяет ОДЗ
• \( x = 11 \): удовлетворяет \( x > 7 \)

Ответ: 11