Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \lg^2 x^2 + \lg 10x — 6 = 0 \);
б) \( 3^x + 3^{-x + 1} = 4 \);
в) \( 2 \cos^2 x — 7 \cos x — 4 = 0 \);
г) \( 5^{2\sqrt{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\sqrt{x} + 1} \)
Решить уравнение методом введения новой переменной:
а) \( \lg^2 x^2 + \lg 10x — 6 = 0 \);
\( (2 \lg x)^2 + \lg 10 + \lg x — 6 = 0 \);
\( 4 \lg^2 x + 1 + \lg x — 6 = 0 \);
Пусть \( y = \lg x \), тогда:
\( 4y^2 + 1 + y — 6 = 0 \Rightarrow 4y^2 + y — 5 = 0 \);
\( D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 5 = 1 + 80 = 81 \), тогда:
\( y_1 = \frac{-1 — 9}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} \);
\( y_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 \);
Первое значение:
\( \lg x = -\frac{5}{4} \Rightarrow x = 10^{-\frac{5}{4}} \);
Второе значение:
\( \lg x = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10 \);
Ответ: \( 10^{-\frac{5}{4}}; \ 10 \)
б) \( 3^x + 3^{-x + 1} = 4 \);
\( 3^x — 4 + \frac{3}{3^x} = 0 \);
Пусть \( y = 3^x \), тогда:
\( y — 4 + \frac{3}{y} = 0 \Rightarrow y^2 — 4y + 3 = 0 \);
\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \), тогда:
\( y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \), \( y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \);
Первое значение:
\( 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x = 0 \);
Второе значение:
\( 3^x = 3 \Rightarrow x = 1 \);
Ответ: \( 0; \ 1 \)
в) \( 2 \cos^2 x — 7 \cos x — 4 = 0 \);
Пусть \( y = \cos x \), тогда:
\( 2y^2 — 7y — 4 = 0 \);
\( D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81 \), тогда:
\( y_1 = \frac{7 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \);
\( y_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 \);
Первое значение:
\( \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \);
Второе значение:
\( \cos x = 4 \Rightarrow x \in ø \);
Ответ: \( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)
г) \( 5^{2\sqrt{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\sqrt{x} + 1} \);
\( 5^{2\sqrt{x}} + 125 = 6 \cdot 5 \cdot 5^{\sqrt{x}} \);
\( 5^{2\sqrt{x}} — 30 \cdot 5^{\sqrt{x}} + 125 = 0 \);
Пусть \( y = 5^{\sqrt{x}} \), тогда:
\( y^2 — 30y + 125 = 0 \);
\( D = 30^2 — 4 \cdot 1 \cdot 125 = 900 — 500 = 400 \), тогда:
\( y_1 = \frac{30 — 20}{2} = 5 \), \( y_2 = \frac{30 + 20}{2} = 25 \);
Первое значение:
\( 5^{\sqrt{x}} = 5 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1 \)
Второе значение:
\( 5^{\sqrt{x}} = 25 \Rightarrow 5^{\sqrt{x}} = 5^2 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 \)
Ответ: \( 1; \ 4 \)
а) \( \lg^{2}x^{2} + \lg 10x — 6 = 0 \)
Сначала раскроем \( \lg^{2}x^{2} \):
\( \lg x^{2} = 2\lg x \Rightarrow (\lg x^{2})^{2} = (2\lg x)^{2} \)
Уравнение примет вид:
\( (2\lg x)^{2} + \lg 10 + \lg x — 6 = 0 \)
\( (2\lg x)^{2} = 4\lg^{2}x \), а \( \lg 10 = 1 \), получаем:
\( 4\lg^{2}x + 1 + \lg x — 6 = 0 \)
Введём новую переменную \( y = \lg x \). Тогда:
\( 4y^{2} + 1 + y — 6 = 0 \)
Собираем подобные слагаемые:
\( 4y^{2} + y — 5 = 0 \)
Это квадратное уравнение. Находим дискриминант:
\( D = 1^{2} — 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 \)
Корни:
\( y_{1} = \frac{-1 — 9}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} \)
\( y_{2} = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 \)
Возвращаемся к \( x \):
1) \( \lg x = -\frac{5}{4} \Rightarrow x = 10^{-\frac{5}{4}} \)
2) \( \lg x = 1 \Rightarrow x = 10^{1} = 10 \)
Ответ: \( 10^{-\frac{5}{4}}; \ 10 \)
б) \( 3^{x} + 3^{-x+1} = 4 \)
Приведем правую часть: \( 3^{-x+1} = 3 \cdot 3^{-x} = \frac{3}{3^{x}} \)
Уравнение примет вид:
\( 3^{x} — 4 + \frac{3}{3^{x}} = 0 \)
Введём новую переменную \( y = 3^{x} \Rightarrow \frac{1}{y} = 3^{-x} \)
Тогда:
\( y — 4 + \frac{3}{y} = 0 \)
Умножаем обе части на \( y \):
\( y^{2} — 4y + 3 = 0 \)
Находим дискриминант:
\( D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \)
Корни:
\( y_{1} = \frac{4 — 2}{2} = 1 \), \( y_{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)
Возвращаемся к \( x \):
1) \( 3^{x} = 1 \Rightarrow 3^{x} = 3^{0} \Rightarrow x = 0 \)
2) \( 3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1 \)
Ответ: \( 0; \ 1 \)
в) \( 2\cos^{2}x — 7\cos x — 4 = 0 \)
Введём новую переменную \( y = \cos x \). Тогда:
\( 2y^{2} — 7y — 4 = 0 \)
Находим дискриминант:
\( D = (-7)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \)
Корни:
\( y_{1} = \frac{7 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
\( y_{2} = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 \)
Возвращаемся к \( x \):
1) \( \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)
2) \( \cos x = 4 \Rightarrow x \in ø \)
Ответ: \( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)
г) \( 5^{2\sqrt{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\sqrt{x} + 1} \)
Правую часть раскроем: \( 5^{\sqrt{x} + 1} = 5 \cdot 5^{\sqrt{x}} \Rightarrow 6 \cdot 5^{\sqrt{x} + 1} = 6 \cdot 5 \cdot 5^{\sqrt{x}} = 30 \cdot 5^{\sqrt{x}} \)
Уравнение примет вид:
\( 5^{2\sqrt{x}} — 30 \cdot 5^{\sqrt{x}} + 125 = 0 \)
Введём новую переменную \( y = 5^{\sqrt{x}} \Rightarrow y^{2} = 5^{2\sqrt{x}} \)
Тогда:
\( y^{2} — 30y + 125 = 0 \)
Находим дискриминант:
\( D = (-30)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 125 = 900 — 500 = 400 \)
Корни:
\( y_{1} = \frac{30 — 20}{2} = 5 \)
\( y_{2} = \frac{30 + 20}{2} = 25 \)
Возвращаемся к \( x \):
1) \( 5^{\sqrt{x}} = 5 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1^{2} = 1 \)
2) \( 5^{\sqrt{x}} = 25 \Rightarrow 25 = 5^{2} \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 2^{2} = 4 \)
Ответ: \( 1; \ 4 \)
