ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( 2^x = 6 — x \);

б) \( \left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 4 \)

Решить уравнение, используя функционально-графические методы:

а) \( 2^x = 6 — x \);

Разделим уравнение на две функции:
\( y = 2^x \) — возрастает;
\( g = 6 — x \) — убывает;

Методом перебора найдем решение:
\( y(2) = 2^2 = 4 \);
\( g(2) = 6 — 2 = 4 \);

Ответ: \( x = 2 \).

б) \( \left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 4 \);

Разделим уравнение на две функции:
\( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \) — убывает;
\( g = x + 4 \) — возрастает;

Методом перебора найдем решение:
\( y(-1) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3 \);
\( g(-1) = -1 + 4 = 3 \);

Ответ: \( x = -1 \).

а) \( 2^x = 6 — x \)

Разделим уравнение на две функции:

• Функция \( y = 2^x \) — экспоненциальная, возрастающая на всей области определения \( \mathbb{R} \). Проходит через точку \( (0, 1) \). Убывает при \( x \to -\infty \), растет при \( x \to +\infty \).
• Функция \( y = 6 — x \) — линейная, убывающая прямая. Убывает на всей области определения. Проходит через точки \( (0, 6) \), \( (6, 0) \).

Ищем точку пересечения графиков, то есть такое значение \( x \), при котором обе функции дают одинаковое значение:

Подставим \( x = 2 \):

• \( y(2) = 2^2 = 4 \)
• \( g(2) = 6 — 2 = 4 \)

Значения совпали: \( y = g \Rightarrow x = 2 \) — решение уравнения.

Так как одна функция возрастает, а вторая убывает, графики могут пересекаться **только в одной точке** ⇒ других решений нет.

Ответ: \( x = 2 \)

б) \( \left( \frac{1}{3} \right)^x = x + 4 \)

Разделим уравнение на две функции:

• Функция \( y = \left( \frac{1}{3} \right)^x \) — экспоненциальная убывающая функция. При \( x = 0 \), \( y = 1 \); при \( x \to +\infty \), \( y \to 0 \); при \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \).
• Функция \( y = x + 4 \) — линейная возрастающая прямая. Проходит через точки \( (-4, 0) \), \( (0, 4) \), возрастает на всей области определения.

Ищем точку пересечения графиков, то есть значение \( x \), при котором обе функции равны.

Подставим \( x = -1 \):

• \( y(-1) = \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = 3 \)
• \( g(-1) = -1 + 4 = 3 \)

Значения совпали: \( y = g \Rightarrow x = -1 \) — решение уравнения.

Так как одна функция убывает, а вторая возрастает, графики пересекаются **в единственной точке** ⇒ других решений нет.

Ответ: \( x = -1 \)