ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( 1 — \sqrt{x} = \ln x \)

б) \( \sqrt{x} — 2 = \frac{9}{x} \)

Решить уравнение, используя функционально-графические методы:

а) \( 1 — \sqrt{x} = \ln x \)

Выражение имеет смысл при:

\( \begin{cases} x \ge 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 0 \)

Разделим уравнение на две функции:

• \( y = 1 — \sqrt{x} \) — убывает при \( x > 0 \);
• \( g = \ln x \) — возрастает при \( x > 0 \);

Методом перебора найдем решение:

• \( y(1) = 1 — \sqrt{1} = 1 — 1 = 0 \)
• \( g(1) = \ln 1 = 0 \)

Ответ: \( x = 1 \)

б) \( \sqrt{x} — 2 = \frac{9}{x} \)

Выражение имеет смысл при:

\( \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases} \Rightarrow x > 0 \)

Разделим уравнение на две функции:

• \( y = \sqrt{x} — 2 \) — возрастает при \( x > 0 \);
• \( g = \frac{9}{x} \) — убывает при \( x > 0 \);

Методом перебора найдем решение:

• \( y(9) = \sqrt{9} — 2 = 3 — 2 = 1 \)
• \( g(9) = \frac{9}{9} = 1 \)

Ответ: \( x = 9 \)

а) \( 1 — \sqrt{x} = \ln x \)

Шаг 1. Область определения уравнения:

Левая часть \( 1 — \sqrt{x} \) определена при \( x \ge 0 \)

Правая часть \( \ln x \) определена при \( x > 0 \)

Итак, ОДЗ: \( x > 0 \)

Шаг 2. Разделим уравнение на две функции:

• Функция \( y = 1 — \sqrt{x} \) — убывает на \( x > 0 \), так как производная отрицательна: \( y’ = -\frac{1}{2\sqrt{x}} < 0 \)
• Функция \( y = \ln x \) — возрастает при \( x > 0 \), так как \( y’ = \frac{1}{x} > 0 \)

Шаг 3. Найдём точку пересечения методом подстановки:

• Подставим \( x = 1 \):
• \( y = 1 — \sqrt{1} = 0 \)
• \( g = \ln 1 = 0 \)
• Значения совпали ⇒ найдено решение: \( x = 1 \)

Шаг 4. Проверим, может ли быть другое решение:

• Так как \( y = 1 — \sqrt{x} \) убывает, а \( y = \ln x \) возрастает, их графики могут пересекаться не более одного раза на \( x > 0 \)
• Следовательно, других решений нет

Ответ: \( x = 1 \)

б) \( \sqrt{x} — 2 = \frac{9}{x} \)

Шаг 1. Область определения:

\( \sqrt{x} \) определена при \( x \ge 0 \)

\( \frac{9}{x} \) определена при \( x \ne 0 \)

Итак, ОДЗ: \( x > 0 \)

Шаг 2. Разделим уравнение на две функции:

• Функция \( y = \sqrt{x} — 2 \) — возрастает при \( x > 0 \), так как \( y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0 \)
• Функция \( y = \frac{9}{x} \) — убывает при \( x > 0 \), так как \( y’ = -\frac{9}{x^2} < 0 \)

Шаг 3. Метод подстановки:

• Подставим \( x = 9 \):
• \( y = \sqrt{9} — 2 = 3 — 2 = 1 \)
• \( g = \frac{9}{9} = 1 \)
• Значения совпали ⇒ найдено решение: \( x = 9 \)

Шаг 4. Проверим уникальность решения:

• Одна функция возрастает, вторая убывает на \( x > 0 \), значит графики могут пересекаться в одной точке
• Следовательно, других решений нет

Ответ: \( x = 9 \)