Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \( (x — 1)^4 + 36 = 13(x^2 — 2x + 1) \)
б) \( (2x + 3)^4 — 9 = 8(4x^2 + 12x + 9) \)
Решить уравнение:
а) \( (x — 1)^4 + 36 = 13(x^2 — 2x + 1) \)
\( (x — 1)^4 — 13(x — 1)^2 + 36 = 0 \)
Пусть \( y = (x — 1)^2 \), тогда:
\( y^2 — 13y + 36 = 0 \)
\( D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25 \), тогда:
\( y_1 = \frac{13 — 5}{2} = 4 \) и \( y_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9 \)
Первое значение:
\( (x — 1)^2 = 4 \)
\( x^2 — 2x + 1 = 4 \)
\( x^2 — 2x — 3 = 0 \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \), тогда:
\( x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
Второе значение:
\( (x — 1)^2 = 9 \)
\( x^2 — 2x + 1 = 9 \)
\( x^2 — 2x — 8 = 0 \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \), тогда:
\( x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)
Ответ: \( -2 \); \( -1 \); \( 3 \); \( 4 \)
б) \( (2x + 3)^4 — 9 = 8(4x^2 + 12x + 9) \)
\( (2x + 3)^4 — 8(2x + 3)^2 — 9 = 0 \)
Пусть \( y = (2x + 3)^2 \), тогда:
\( y^2 — 8y — 9 = 0 \)
\( D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100 \), тогда:
\( y_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9 \)
Первое значение:
\( (2x + 3)^2 = -1 \)
\( x \in ø \)
Второе значение:
\( (2x + 3)^2 = 9 \)
\( 4x^2 + 12x + 9 = 9 \)
\( 4x^2 + 12x = 0 \)
\( 4(x + 3)x = 0 \)
\( x_1 = -3 \), \( x_2 = 0 \)
Ответ: \( -3 \); \( 0 \)
а) \( (x — 1)^4 + 36 = 13(x^2 — 2x + 1) \)
Преобразуем правую часть уравнения:
\( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \)
Тогда уравнение примет вид:
\( (x — 1)^4 + 36 = 13(x — 1)^2 \)
Перенесем все в одну часть:
\( (x — 1)^4 — 13(x — 1)^2 + 36 = 0 \)
Пусть \( y = (x — 1)^2 \), тогда уравнение становится:
\( y^2 — 13y + 36 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25 \)
Найдем корни квадратного уравнения:
\( y_1 = \frac{13 — 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
\( y_2 = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
Рассмотрим оба значения:
Первое значение:
\( (x — 1)^2 = 4 \)
\( x — 1 = \pm 2 \)
\( x_1 = 1 — 2 = -1 \)
\( x_2 = 1 + 2 = 3 \)
Второе значение:
\( (x — 1)^2 = 9 \)
\( x — 1 = \pm 3 \)
\( x_3 = 1 — 3 = -2 \)
\( x_4 = 1 + 3 = 4 \)
Ответ: \( -2 \); \( -1 \); \( 3 \); \( 4 \)
б) \( (2x + 3)^4 — 9 = 8(4x^2 + 12x + 9) \)
Преобразуем правую часть:
\( 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 \)
Тогда уравнение примет вид:
\( (2x + 3)^4 — 9 = 8(2x + 3)^2 \)
Перенесем все в одну часть:
\( (2x + 3)^4 — 8(2x + 3)^2 — 9 = 0 \)
Пусть \( y = (2x + 3)^2 \), тогда:
\( y^2 — 8y — 9 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = (-8)^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100 \)
Найдем корни уравнения:
\( y_1 = \frac{8 — 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
\( y_2 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
Рассмотрим оба значения:
Первое значение:
\( (2x + 3)^2 = -1 \) — не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным:
\( x \in ø \)
Второе значение:
\( (2x + 3)^2 = 9 \)
\( 2x + 3 = \pm 3 \)
\( x_1 = \frac{-3 — 3}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
\( x_2 = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)
Ответ: \( -3 \); \( 0 \)
