Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sqrt{6x^2 — 3} = \sqrt{5x — 2} \)
б) \( \sqrt{3x^2 — 5x} = \sqrt{x^2 + 2x — 5} \)
Решить уравнение:
а) \( \sqrt{6x^2 — 3} = \sqrt{5x — 2} \)
\( 6x^2 — 3 = 5x — 2 \)
\( 6x^2 — 5x — 1 = 0 \)
\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49 \), тогда:
\( x_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 6} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6} \)
\( x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1 \)
Выполним проверку:
\( 5 \cdot \left( -\frac{1}{6} \right) — 2 = -\frac{17}{6} < 0 \) — не подходит
\( \sqrt{6 \cdot 1^2 — 3} — \sqrt{5 \cdot 1 — 2} = \sqrt{3} — \sqrt{3} = 0 \) — подходит
Ответ: \( 1 \)
б) \( \sqrt{3x^2 — 5x} = \sqrt{x^2 + 2x — 5} \)
\( 3x^2 — 5x = x^2 + 2x — 5 \)
\( 2x^2 — 7x + 5 = 0 \)
\( D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 — 40 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{7 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
\( x_2 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2{,}5 \)
Выполним проверку:
\( 3 \cdot 1^2 — 5 \cdot 1 = -2 < 0 \) — не подходит
\( \sqrt{3 \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^2 — 5 \cdot \frac{5}{2}} — \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2 \cdot \frac{5}{2} — 5} = \)
\( \sqrt{\frac{75}{4} — \frac{25}{2}} = \sqrt{\frac{25}{4}} — \sqrt{\frac{25}{4}} = 0 \)
Ответ: \( 2{,}5 \)
а) \( \sqrt{6x^2 — 3} = \sqrt{5x — 2} \)
Приравниваем подкоренные выражения:
\( 6x^2 — 3 = 5x — 2 \)
Переносим все в одну сторону:
\( 6x^2 — 5x — 1 = 0 \)
Вычисляем дискриминант:
\( D = (-5)^2 + 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 + 24 = 49 \)
Решаем квадратное уравнение:
\( x_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} \)
\( x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1 \)
Проверка корней:
Для \( x = -\frac{1}{6} \):
\( 5x — 2 = 5 \cdot \left( -\frac{1}{6} \right) — 2 = -\frac{5}{6} — 2 = -\frac{17}{6} < 0 \)
Корень не удовлетворяет ОДЗ. Отбрасываем.
Для \( x = 1 \):
\( \sqrt{6 \cdot 1^2 — 3} = \sqrt{6 — 3} = \sqrt{3} \)
\( \sqrt{5 \cdot 1 — 2} = \sqrt{5 — 2} = \sqrt{3} \)
Левая и правая части равны — корень подходит.
Ответ: \( 1 \)
б) \( \sqrt{3x^2 — 5x} = \sqrt{x^2 + 2x — 5} \)
Приравниваем подкоренные выражения:
\( 3x^2 — 5x = x^2 + 2x — 5 \)
Переносим все в одну часть уравнения:
\( 3x^2 — 5x — x^2 — 2x + 5 = 0 \)
\( 2x^2 — 7x + 5 = 0 \)
Вычисляем дискриминант:
\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 — 40 = 9 \)
Решаем квадратное уравнение:
\( x_1 = \frac{7 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
\( x_2 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2{,}5 \)
Проверка корней:
Для \( x = 1 \):
\( 3x^2 — 5x = 3 — 5 = -2 < 0 \) — подкоренное выражение отрицательно, корень не подходит.
Для \( x = \frac{5}{2} \):
Вычисляем левую часть:
\( \sqrt{3 \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^2 — 5 \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{75}{4} — \frac{25}{2}} = \sqrt{\frac{75}{4} — \frac{50}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \)
Вычисляем правую часть:
\( \sqrt{ \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2 \cdot \frac{5}{2} — 5 } = \sqrt{ \frac{25}{4} + \frac{10}{2} — 5 } = \sqrt{ \frac{25}{4} + \frac{20}{4} — \frac{20}{4} } = \sqrt{ \frac{25}{4} } = \frac{5}{2} \)
Обе части равны — корень подходит.
Ответ: \( 2{,}5 \)
