Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sqrt{2x^2 — 11x + 6} = 2x — 9 \)
б) \( \sqrt{x^2 + 2x — 8} = 2x — 4 \)
Решить уравнение:
а) \( \sqrt{2x^2 — 11x + 6} = 2x — 9 \)
\( 2x^2 — 11x + 6 = 4x^2 — 36x + 81 \)
\( 2x^2 — 25x + 75 = 0 \)
\( D = 25^2 — 4 \cdot 2 \cdot 75 = 625 — 600 = 25 \), тогда:
\( x_1 = \frac{25 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5 \)
\( x_2 = \frac{25 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7{,}5 \)
Выполним проверку:
\( \sqrt{2 \cdot 5^2 — 11 \cdot 5 + 6} — (2 \cdot 5 — 9) = \sqrt{50 — 55 + 6} — 1 = \sqrt{1} — 1 = 0 \)
\( \sqrt{2 \cdot \left( \frac{15}{2} \right)^2 — 11 \cdot \frac{15}{2} + 6} — (2 \cdot 7{,}5 — 9) = \sqrt{1} — 1 = 0 \)
Ответ: \( 5 \); \( 7{,}5 \)
б) \( \sqrt{x^2 + 2x — 8} = 2x — 4 \)
\( x^2 + 2x — 8 = 4x^2 — 16x + 16 \)
\( 3x^2 — 18x + 24 = 0 \)
\( x^2 — 6x + 8 = 0 \)
\( D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \), тогда:
\( x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \)
Выполним проверку:
\( \sqrt{2^2 + 2 \cdot 2 — 8} — (2 \cdot 2 — 4) = \sqrt{4 + 4 — 8} — 0 = \sqrt{0} — 0 = 0 \)
\( \sqrt{4^2 + 2 \cdot 4 — 8} — (2 \cdot 4 — 4) = \sqrt{16 + 8 — 8} — 4 = \sqrt{16} — 4 = 4 — 4 = 0 \)
Ответ: \( 2 \); \( 4 \)
а) \( \sqrt{2x^2 — 11x + 6} = 2x — 9 \)
1. Возведем обе части в квадрат:
\( ( \sqrt{2x^2 — 11x + 6} )^2 = (2x — 9)^2 \)
\( 2x^2 — 11x + 6 = 4x^2 — 36x + 81 \)
2. Перенесем все в одну часть уравнения:
\( 2x^2 — 11x + 6 — 4x^2 + 36x — 81 = 0 \)
\( -2x^2 + 25x — 75 = 0 \)
или умножим на -1:
\( 2x^2 — 25x + 75 = 0 \)
3. Найдем дискриминант:
\( D = (-25)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 75 = 625 — 600 = 25 \)
4. Найдем корни:
\( x_1 = \frac{25 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5 \)
\( x_2 = \frac{25 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} \)
5. Проверим каждый корень:
Проверка \( x = 5 \):
\( \sqrt{2 \cdot 5^2 — 11 \cdot 5 + 6} = \sqrt{50 — 55 + 6} = \sqrt{1} = 1 \)
\( 2 \cdot 5 — 9 = 10 — 9 = 1 \), подходит.
Проверка \( x = \frac{15}{2} \):
\( \sqrt{2 \cdot \left( \frac{15}{2} \right)^2 — 11 \cdot \frac{15}{2} + 6} = \sqrt{ \frac{450}{4} — \frac{165}{2} + 6 } = \sqrt{ \frac{144}{4} } = \sqrt{36} = 6 \)
\( 2 \cdot \frac{15}{2} — 9 = 15 — 9 = 6 \), подходит.
Ответ: \( 5 \); \( \frac{15}{2} \)
б) \( \sqrt{x^2 + 2x — 8} = 2x — 4 \)
1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\( ( \sqrt{x^2 + 2x — 8} )^2 = (2x — 4)^2 \)
\( x^2 + 2x — 8 = 4x^2 — 16x + 16 \)
2. Переносим все в одну сторону уравнения:
\( x^2 + 2x — 8 — 4x^2 + 16x — 16 = 0 \)
\( -3x^2 + 18x — 24 = 0 \)
или умножим обе части на -1:
\( 3x^2 — 18x + 24 = 0 \)
3. Разделим обе части на 3 для упрощения:
\( x^2 — 6x + 8 = 0 \)
4. Найдем дискриминант:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \)
5. Найдем корни:
\( x_1 = \frac{6 — 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( x_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
6. Проверим каждый корень:
Проверка \( x = 2 \):
\( \sqrt{2^2 + 2 \cdot 2 — 8} = \sqrt{4 + 4 — 8} = \sqrt{0} = 0 \)
\( 2 \cdot 2 — 4 = 4 — 4 = 0 \), подходит.
Проверка \( x = 4 \):
\( \sqrt{4^2 + 2 \cdot 4 — 8} = \sqrt{16 + 8 — 8} = \sqrt{16} = 4 \)
\( 2 \cdot 4 — 4 = 8 — 4 = 4 \), подходит.
Ответ: \( 2 \); \( 4 \)
