ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( 16x — 15\sqrt{x} — 1 = 0 \)

б) \( 2 — x + 3\sqrt{2 — x} = 4 \)

в) \( 3x — 8\sqrt{x} + 5 = 0 \)

г) \( 5\sqrt{x + 3} + x + 3 = 6 \)

Решить уравнение:

а) \( 16x — 15\sqrt{x} — 1 = 0 \)

Пусть \( y = \sqrt{x} \), тогда:

\( 16y^2 — 15y — 1 = 0 \)

\( D = 15^2 + 4 \cdot 16 = 225 + 64 = 289 \), тогда:

\( y_1 = \frac{15 — 17}{2 \cdot 16} = \frac{-2}{32} = -\frac{1}{16} \)

\( y_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 16} = \frac{32}{32} = 1 \)

Первое значение: \( \sqrt{x} = -\frac{1}{16} \) ⟹ \( x \in ø \)

Второе значение: \( \sqrt{x} = 1 \) ⟹ \( x = 1 \)

Ответ: \( 1 \)

б) \( 2 — x + 3\sqrt{2 — x} = 4 \)

Пусть \( y = \sqrt{2 — x} \), тогда:

\( y^2 + 3y = 4 \)

\( y^2 + 3y — 4 = 0 \)

\( D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25 \), тогда:

\( y_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \), \( y_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \)

Первое значение: \( \sqrt{2 — x} = -4 \) ⟹ \( x \in ø \)

Второе значение: \( \sqrt{2 — x} = 1 \) ⟹ \( 2 — x = 1 \) ⟹ \( x = 1 \)

Ответ: \( 1 \)

в) \( 3x — 8\sqrt{x} + 5 = 0 \)

Пусть \( y = \sqrt{x} \), тогда:

\( 3y^2 — 8y + 5 = 0 \)

\( D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 — 60 = 4 \), тогда:

\( y_1 = \frac{8 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \)

\( y_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)

Первое значение: \( \sqrt{x} = 1 \) ⟹ \( x = 1 \)

Второе значение: \( \sqrt{x} = \frac{5}{3} \) ⟹ \( x = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9} \)

Ответ: \( 1 \); \( 2\frac{7}{9} \)

г) \( 5\sqrt{x + 3} + x + 3 = 6 \)

Пусть \( y = \sqrt{x + 3} \), тогда:

\( 5y + y^2 = 6 \)

\( y^2 + 5y — 6 = 0 \)

\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49 \), тогда:

\( y_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6 \), \( y_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \)

Первое значение: \( \sqrt{x + 3} = -6 \) ⟹ \( x \in ø \)

Второе значение: \( \sqrt{x + 3} = 1 \) ⟹ \( x + 3 = 1 \) ⟹ \( x = -2 \)

Ответ: \( -2 \)

а) \( 16x — 15\sqrt{x} — 1 = 0 \)

Сделаем замену: пусть \( y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2 \). Подставим в уравнение:

\( 16y^2 — 15y — 1 = 0 \) — квадратное уравнение.

Найдём дискриминант:

\( D = (-15)^2 + 4 \cdot 16 \cdot 1 = 225 + 64 = 289 \)

Вычислим корни:

\( y_1 = \frac{15 — 17}{2 \cdot 16} = \frac{-2}{32} = -\frac{1}{16} \)

\( y_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 16} = \frac{32}{32} = 1 \)

Проверка значений:

\( \sqrt{x} = -\frac{1}{16} \) — не имеет смысла (корень не может быть отрицательным), поэтому \( x \in ø \)

\( \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \)

б) \( 2 — x + 3\sqrt{2 — x} = 4 \)

Сделаем замену: пусть \( y = \sqrt{2 — x} \Rightarrow x = 2 — y^2 \). Подставим в уравнение:

\( 2 — (2 — y^2) + 3y = 4 \)

\( y^2 + 3y = 4 \Rightarrow y^2 + 3y — 4 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25 \)

Вычислим корни:

\( y_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \), но \( \sqrt{2 — x} \ne -4 \Rightarrow x \in ø \)

\( y_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \Rightarrow \sqrt{2 — x} = 1 \Rightarrow 2 — x = 1 \Rightarrow x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \)

в) \( 3x — 8\sqrt{x} + 5 = 0 \)

Сделаем замену: \( y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2 \). Подставим в уравнение:

\( 3y^2 — 8y + 5 = 0 \) — квадратное уравнение.

Найдём дискриминант:

\( D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 — 60 = 4 \)

Вычислим корни:

\( y_1 = \frac{8 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \Rightarrow x = y^2 = 1 \)

\( y_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \left( \frac{5}{3} \right)^2 = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9} \)

Ответ: \( x = 1 \); \( x = 2\frac{7}{9} \)

г) \( 5\sqrt{x + 3} + x + 3 = 6 \)

Сделаем замену: пусть \( y = \sqrt{x + 3} \Rightarrow x = y^2 — 3 \). Подставим в уравнение:

\( 5y + y^2 — 3 + 3 = 6 \Rightarrow y^2 + 5y = 6 \Rightarrow y^2 + 5y — 6 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49 \)

Вычислим корни:

\( y_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6 \Rightarrow \sqrt{x + 3} = -6 \) — не имеет смысла ⇒ \( x \in ø \)

\( y_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 3} = 1 \Rightarrow x + 3 = 1 \Rightarrow x = -2 \)

Ответ: \( x = -2 \)