Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sqrt[5]{x} — \sqrt[10]{x} — 2 = 0 \)
б) \( \sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} — 3 = 0 \)
в) \( \sqrt[3]{x} — 6\sqrt[6]{x} + 8 = 0 \)
г) \( 3\sqrt[4]{x} — \sqrt[8]{x} — 2 = 0 \)
Решить уравнение:
а) \( \sqrt[5]{x} — \sqrt[10]{x} — 2 = 0 \)
Пусть \( y = \sqrt[10]{x} \), тогда:
\( y^2 — y — 2 = 0 \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда:
\( y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
Первое значение: \( \sqrt[10]{x} = -1 \) ⟹ \( x \in ø \)
Второе значение: \( \sqrt[10]{x} = 2 \) ⟹ \( x = 2^{10} = 1024 \)
Ответ: \( 1024 \)
б) \( \sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} — 3 = 0 \)
Пусть \( y = \sqrt[8]{x} \), тогда:
\( y^2 + 2y — 3 = 0 \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \), тогда:
\( y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \) и \( y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)
Первое значение: \( \sqrt[8]{x} = -3 \) ⟹ \( x \in ø \)
Второе значение: \( \sqrt[8]{x} = 1 \) ⟹ \( x = 1^8 = 1 \)
Ответ: \( 1 \)
в) \( \sqrt[3]{x} — 6\sqrt[6]{x} + 8 = 0 \)
Пусть \( y = \sqrt[6]{x} \), тогда:
\( y^2 — 6y + 8 = 0 \)
\( D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \), тогда:
\( y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \)
Первое значение: \( \sqrt[6]{x} = 2 \) ⟹ \( x = 2^6 = 64 \)
Второе значение: \( \sqrt[6]{x} = 4 \) ⟹ \( x = 4^6 = 4096 \)
Ответ: \( 64 \); \( 4096 \)
г) \( 3\sqrt[4]{x} — \sqrt[8]{x} — 2 = 0 \)
Пусть \( y = \sqrt[8]{x} \), тогда:
\( 3y^2 — y — 2 = 0 \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25 \), тогда:
\( y_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \)
\( y_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \)
Первое значение: \( \sqrt[8]{x} = -\frac{2}{3} \) ⟹ \( x \in ø \)
Второе значение: \( \sqrt[8]{x} = 1 \) ⟹ \( x = 1^8 = 1 \)
Ответ: \( 1 \)
а) \( \sqrt[5]{x} — \sqrt[10]{x} — 2 = 0 \)
Сделаем замену: пусть \( y = \sqrt[10]{x} \). Тогда \( \sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2 = y^2 \). Подставим в уравнение:
\( y^2 — y — 2 = 0 \)
Вычисляем дискриминант:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \)
Находим корни:
\( y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \), \( y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
Проверим каждое значение:
При \( y = -1 \): \( \sqrt[10]{x} = -1 \) — не имеет смысла, \( x \in ø \).
При \( y = 2 \): \( \sqrt[10]{x} = 2 \) ⟹ \( x = 2^{10} = 1024 \)
Ответ: \( x = 1024 \)
б) \( \sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} — 3 = 0 \)
Сделаем замену: пусть \( y = \sqrt[8]{x} \). Тогда \( \sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2 = y^2 \). Подставим в уравнение:
\( y^2 + 2y — 3 = 0 \)
Вычисляем дискриминант:
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \)
Находим корни:
\( y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \), \( y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)
Проверим каждое значение:
При \( y = -3 \): \( \sqrt[8]{x} = -3 \) — не имеет смысла, \( x \in ø \).
При \( y = 1 \): \( \sqrt[8]{x} = 1 \) ⟹ \( x = 1^8 = 1 \)
Ответ: \( x = 1 \)
в) \( \sqrt[3]{x} — 6\sqrt[6]{x} + 8 = 0 \)
Сделаем замену: пусть \( y = \sqrt[6]{x} \). Тогда \( \sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2 \). Подставим в уравнение:
\( y^2 — 6y + 8 = 0 \)
Вычисляем дискриминант:
\( D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \)
Находим корни:
\( y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \), \( y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \)
Проверим каждое значение:
При \( y = 2 \): \( \sqrt[6]{x} = 2 \) ⟹ \( x = 2^6 = 64 \)
При \( y = 4 \): \( \sqrt[6]{x} = 4 \) ⟹ \( x = 4^6 = 4096 \)
Ответ: \( x = 64 \); \( x = 4096 \)
г) \( 3\sqrt[4]{x} — \sqrt[8]{x} — 2 = 0 \)
Сделаем замену: пусть \( y = \sqrt[8]{x} \). Тогда \( \sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2 = y^2 \). Подставим в уравнение:
\( 3y^2 — y — 2 = 0 \)
Вычисляем дискриминант:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25 \)
Находим корни:
\( y_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \), \( y_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \)
Проверим каждое значение:
При \( y = -\frac{2}{3} \): \( \sqrt[8]{x} = -\frac{2}{3} \) — не имеет смысла, \( x \in ø \).
При \( y = 1 \): \( \sqrt[8]{x} = 1 \) ⟹ \( x = 1^8 = 1 \)
Ответ: \( x = 1 \)
