Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2} \);
б) \( \sqrt{2x+1} — \sqrt{x-1} = \sqrt{3} \)
Решить уравнение:
а) \( \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2} \);
\( (x + 1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x — 1) = 2 \);
\( 2\sqrt{x^2 — 1} = 2 — 2x \);
\( \sqrt{x^2 — 1} = 1 — x \);
\( x^2 — 1 = 1 — 2x + x^2 \);
\( 2x = 2 \);
\( x = 1 \);
Уравнение имеет решения при:
\( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \);
\( x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \);
\( 1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1 \);
Ответ: 1.
б) \( \sqrt{2x+1} — \sqrt{x-1} = \sqrt{3} \);
\( \sqrt{2x+1} = \sqrt{3} + \sqrt{x-1} \);
\( 2x + 1 = 3 + 2\sqrt{x-1} + (x — 1) \);
\( x — 1 = 2\sqrt{3(x-1)} \);
\( (x — 1)^2 = 12(x — 1) \);
\( (x — 1)^2 — 12 (x — 1) = 0 \);
\( (x — 1)(x — 13) = 0 \);
\( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 13 \);
Уравнение имеет решения при:
\( 2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -0{,}5 \);
\( x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \);
Ответ: 1; 13.
Решить уравнение:
а) \( \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2} \)
1. Установим область допустимых значений (ОДЗ):
\( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \)
\( x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)
Следовательно, \( x \geq 1 \)
2. Переносим все корни в одну часть уравнения:
\( \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2} \)
3. Возводим обе части в квадрат:
\( (\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{2})^2 \)
4. Раскрываем скобки слева:
\( (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (\sqrt{x-1})^2 = 2 \)
5. Упрощаем:
\( x + 1 + x — 1 + 2\sqrt{x^2 — 1} = 2 \)
\( 2x + 2\sqrt{x^2 — 1} = 2 \)
6. Переносим \(2x\) вправо:
\( 2\sqrt{x^2 — 1} = 2 — 2x \)
7. Делим обе части на 2:
\( \sqrt{x^2 — 1} = 1 — x \)
8. Так как подкоренное выражение неотрицательно, а правая часть тоже должна быть неотрицательной:
\( 1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1 \)
С учётом ОДЗ \( x \geq 1 \), следовательно \( x = 1 \)
9. Проверка:
Подставим \( x = 1 \) в исходное уравнение:
\( \sqrt{1+1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2} \) — верно.
Ответ: 1
б) \( \sqrt{2x+1} — \sqrt{x-1} = \sqrt{3} \)
1. ОДЗ:
\( 2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \)
\( x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)
Следовательно, \( x \geq 1 \)
2. Переносим \( \sqrt{x-1} \) вправо:
\( \sqrt{2x+1} = \sqrt{3} + \sqrt{x-1} \)
3. Возводим обе части в квадрат:
\( (\sqrt{2x+1})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{x-1})^2 \)
4. Раскрываем скобки:
\( 2x + 1 = 3 + 2\sqrt{3}\sqrt{x-1} + x — 1 \)
5. Упрощаем правую часть:
\( 2x + 1 = x + 2 + 2\sqrt{3}\sqrt{x-1} \)
6. Переносим все кроме радикала влево:
\( 2x + 1 — x — 2 = 2\sqrt{3}\sqrt{x-1} \)
\( x — 1 = 2\sqrt{3}\sqrt{x-1} \)
7. Обозначим \( \sqrt{x-1} = t \Rightarrow x — 1 = t^2 \)
Подставим:
\( t^2 = 2\sqrt{3}t \)
8. Переносим все в одну часть:
\( t^2 — 2\sqrt{3}t = 0 \)
\( t(t — 2\sqrt{3}) = 0 \)
9. Решения:
\( t = 0 \Rightarrow \sqrt{x — 1} = 0 \Rightarrow x = 1 \)
\( t = 2\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{x — 1} = 2\sqrt{3} \Rightarrow x — 1 = 12 \Rightarrow x = 13 \)
10. Проверка:
Для \( x = 1 \):
\( \sqrt{2 \cdot 1 + 1} — \sqrt{1 — 1} = \sqrt{3} — 0 = \sqrt{3} \) — верно
Для \( x = 13 \):
\( \sqrt{2 \cdot 13 + 1} — \sqrt{13 — 1} = \sqrt{27} — \sqrt{12} = 3\sqrt{3} — 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \) — верно
Ответ: 1; 13
