Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sqrt{3x — 1} + \sqrt{6x + 2} = \sqrt{9x + 1} \)
б) \( \sqrt{6x — 14} + \sqrt{5 — x} = \sqrt{5x — 9} \)
Решить уравнение:
а) \( \sqrt{3x — 1} + \sqrt{6x + 2} = \sqrt{9x + 1} \);
\( (3x — 1) + 2\sqrt{(3x — 1)(6x + 2)} + (6x + 2) = 9x + 1 \);
\( 2\sqrt{(3x — 1)(6x + 2)} = 0 \);
\( (3x — 1)(6x + 2) = 0 \);
\( 2(3x + 1)(3x — 1) = 0 \);
\( x_1 = -\frac{1}{3} \) и \( x_2 = \frac{1}{3} \);
Уравнение имеет решения при:
\( 3x — 1 \geq 0 ⇒ x \geq \frac{1}{3} \);
\( 6x + 2 \geq 0 ⇒ x \geq -\frac{1}{3} \);
\( 9x + 1 \geq 0 ⇔ x \geq -\frac{1}{9} \);
Ответ: \( \frac{1}{3} \)
б) \( \sqrt{6x — 14} + \sqrt{5 — x} = \sqrt{5x — 9} \);
\( (6x — 14) + 2\sqrt{(6x — 14)(5 — x)} + (5 — x) = 5x — 9 \);
\( 2\sqrt{(6x — 14)(5 — x)} = 0 \);
\( (6x — 14)(5 — x) = 0 \);
\( -2(3x — 7)(x — 5) = 0 \);
\( x_1 = 2\frac{1}{3} \) и \( x_2 = 5 \);
Уравнение имеет решения при:
\( 6x — 14 \geq 0 ⇒ x \geq 2\frac{1}{3} \);
\( 5 — x \geq 0 ⇒ x \leq 5 \);
\( 5x — 9 \geq 0 ⇔ x \geq 1\frac{4}{5} \);
Ответ: \( 2\frac{1}{3} \); 5
а) \( \sqrt{3x — 1} + \sqrt{6x + 2} = \sqrt{9x + 1} \)
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ):
\( 3x — 1 \geq 0 ⇒ x \geq \frac{1}{3} \)
\( 6x + 2 \geq 0 ⇒ x \geq -\frac{1}{3} \)
\( 9x + 1 \geq 0 ⇔ x \geq -\frac{1}{9} \)
Объединяя все условия, получаем: \( x \geq \frac{1}{3} \)
2. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\( \left( \sqrt{3x — 1} + \sqrt{6x + 2} \right)^2 = (\sqrt{9x + 1})^2 \)
3. Раскроем левую часть:
\( (3x — 1) + 2\sqrt{(3x — 1)(6x + 2)} + (6x + 2) = 9x + 1 \)
4. Упростим левую часть:
\( 3x — 1 + 6x + 2 + 2\sqrt{(3x — 1)(6x + 2)} = 9x + 1 \)
\( 9x + 1 + 2\sqrt{(3x — 1)(6x + 2)} = 9x + 1 \)
5. Вычтем \( 9x + 1 \) из обеих частей:
\( 2\sqrt{(3x — 1)(6x + 2)} = 0 \)
6. Разделим обе части на 2:
\( \sqrt{(3x — 1)(6x + 2)} = 0 \)
7. Возведём обе части в квадрат:
\( (3x — 1)(6x + 2) = 0 \)
8. Раскроем скобки или разложим на множители:
\( 3x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \)
\( 6x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \)
9. Проверим, какие корни удовлетворяют ОДЗ \( x \geq \frac{1}{3} \):
\( x = -\frac{1}{3} \) — не подходит
\( x = \frac{1}{3} \) — подходит
10. Проверка:
\( \sqrt{3 \cdot \frac{1}{3} — 1} + \sqrt{6 \cdot \frac{1}{3} + 2} = \sqrt{9 \cdot \frac{1}{3} + 1} \)
\( \sqrt{1 — 1} + \sqrt{2 + 2} = \sqrt{3 + 1} \)
\( 0 + \sqrt{4} = \sqrt{4} \Rightarrow 2 = 2 \) — верно
Ответ: \( \frac{1}{3} \)
б) \( \sqrt{6x — 14} + \sqrt{5 — x} = \sqrt{5x — 9} \)
1. Найдём область допустимых значений:
\( 6x — 14 \geq 0 ⇒ x \geq \frac{14}{6} = 2\frac{1}{3} \)
\( 5 — x \geq 0 ⇒ x \leq 5 \)
\( 5x — 9 \geq 0 ⇔ x \geq \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} \)
Объединяя все условия: \( 2\frac{1}{3} \leq x \leq 5 \)
2. Возведём обе части в квадрат:
\( \left( \sqrt{6x — 14} + \sqrt{5 — x} \right)^2 = (\sqrt{5x — 9})^2 \)
3. Раскроем левую часть:
\( (6x — 14) + 2\sqrt{(6x — 14)(5 — x)} + (5 — x) = 5x — 9 \)
4. Упростим левую часть:
\( 6x — 14 + 5 — x + 2\sqrt{(6x — 14)(5 — x)} = 5x — 9 \)
\( 5x — 9 + 2\sqrt{(6x — 14)(5 — x)} = 5x — 9 \)
5. Вычтем \( 5x — 9 \) из обеих частей:
\( 2\sqrt{(6x — 14)(5 — x)} = 0 \)
6. Разделим обе части на 2:
\( \sqrt{(6x — 14)(5 — x)} = 0 \)
7. Возведём обе части в квадрат:
\( (6x — 14)(5 — x) = 0 \)
8. Разложим на множители:
\( 6x — 14 = 0 \Rightarrow x = \frac{14}{6} = 2\frac{1}{3} \)
\( 5 — x = 0 \Rightarrow x = 5 \)
9. Проверим, какие корни удовлетворяют ОДЗ \( 2\frac{1}{3} \leq x \leq 5 \):
\( x = 2\frac{1}{3} \) — подходит
\( x = 5 \) — подходит
10. Проверка:
Для \( x = 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \):
\( \sqrt{6 \cdot \frac{7}{3} — 14} + \sqrt{5 — \frac{7}{3}} = \sqrt{5 \cdot \frac{7}{3} — 9} \)
\( \sqrt{14 — 14} + \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{35}{3} — 9} \)
\( 0 + \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \) — верно
Для \( x = 5 \):
\( \sqrt{6 \cdot 5 — 14} + \sqrt{5 — 5} = \sqrt{5 \cdot 5 — 9} \)
\( \sqrt{30 — 14} + 0 = \sqrt{25 — 9} \)
\( \sqrt{16} = \sqrt{16} \Rightarrow 4 = 4 \) — верно
Ответ: \( 2\frac{1}{3} \); 5
