Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( x^{2}-4x-6=\sqrt{2x^{2}-8x+12} \);
б) \( \sqrt{x^{2}-3x+5}+x^{2}=3x+7 \)
Решить уравнение:
а) \( x^{2}-4x-6=\sqrt{2x^{2}-8x+12} \);
Пусть \( y=\sqrt{2x^{2}-8x+12} \), тогда:
\( y^{2}=2x^{2}-8x+12 \);
\( 2x^{2}-8x=y^{2}-12 \);
\( x^{2}-4x=\frac{y^{2}}{2}-6 \);
Подставим значение \( y \):
\( \frac{y^{2}}{2}-6-6=y \);
\( y^{2}-12\cdot2-2y=0 \);
\( y^{2}-2y-24=0 \);
\( D=2^{2}+4\cdot24=4+96=100 \), тогда:
\( y_{1}=\frac{2-10}{2}=-4 \) и \( y_{2}=\frac{2+10}{2}=6 \);
Первое значение:
\( \sqrt{2x^{2}-8x+12}=-4 \);
\( x \in ø \);
Второе значение:
\( \sqrt{2x^{2}-8x+12}=6 \);
\( 2x^{2}-8x+12=36 \);
\( 2x^{2}-8x-24=0 \);
\( x^{2}-4x-12=0 \);
\( D=4^{2}+4\cdot12=16+48=64 \), тогда:
\( x_{1}=\frac{4-8}{2}=-2 \) и \( x_{2}=\frac{4+8}{2}=6 \);
Ответ: \( -2 \); \( 6 \)
б) \( \sqrt{x^{2}-3x+5}+x^{2}=3x+7 \);
\( \sqrt{x^{2}-3x+5}+x^{2}-3x-7=0 \);
Пусть \( y=\sqrt{x^{2}-3x+5} \), тогда:
\( y^{2}=x^{2}-3x+5 \);
\( x^{2}-3x=y^{2}-5 \);
Подставим значение \( y \):
\( y+y^{2}-5-7=0 \);
\( y^{2}+y-12=0 \);
\( D=1^{2}+4\cdot12=1+48=49 \), тогда:
\( y_{1}=\frac{-1-7}{2}=-4 \) и \( y_{2}=\frac{-1+7}{2}=3 \);
Первое значение:
\( \sqrt{x^{2}-3x+5}=-4 \);
\( x \in ø \);
Второе значение:
\( \sqrt{x^{2}-3x+5}=3 \);
\( x^{2}-3x+5=9 \);
\( x^{2}-3x-4=0 \);
\( D=3^{2}+4\cdot4=9+16=25 \), тогда:
\( x_{1}=\frac{3-5}{2}=-1 \) и \( x_{2}=\frac{3+5}{2}=4 \);
Ответ: \( -1 \); \( 4 \)
а) \( x^{2} — 4x — 6 = \sqrt{2x^{2} — 8x + 12} \)
1. Найдём область допустимых значений:
\( 2x^{2} — 8x + 12 \geq 0 \)
Решим квадратное неравенство:
Найдём дискриминант: \( D = (-8)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 12 = 64 — 96 = -32 \)
Дискриминант отрицательный ⇒ выражение под корнем всегда положительно.
Следовательно, ОДЗ: любое \( x \in \mathbb{R} \)
2. Пусть \( y = \sqrt{2x^{2} — 8x + 12} \)
Тогда исходное уравнение примет вид:
\( x^{2} — 4x — 6 = y \)
3. Возведём обе части в квадрат:
\( (x^{2} — 4x — 6)^{2} = y^{2} \)
Но \( y^{2} = 2x^{2} — 8x + 12 \), поэтому:
\( (x^{2} — 4x — 6)^{2} = 2x^{2} — 8x + 12 \)
4. Раскроем левую часть:
\( (x^{2} — 4x — 6)^{2} = x^{4} — 8x^{3} + 4x^{2} + 48x + 36 \)
(можно свернуть или упростить, но в данном варианте решается другим способом — через подстановку)
Идём по исходному решению:
Подставим \( y = \sqrt{2x^{2} — 8x + 12} \) в правую часть:
\( x^{2} — 4x = \frac{y^{2}}{2} — 6 \)
Тогда полное уравнение:
\( \frac{y^{2}}{2} — 6 — 6 = y \)
\( \frac{y^{2}}{2} — 12 = y \)
Умножим обе части на 2:
\( y^{2} — 24 = 2y \)
Переносим всё в одну сторону:
\( y^{2} — 2y — 24 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение:
Дискриминант: \( D = (-2)^{2} + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100 \)
Корни:
\( y_{1} = \frac{2 — 10}{2} = -4 \)
\( y_{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6 \)
6. Проверим каждый корень:
Первый корень: \( y = -4 \)
\( \sqrt{2x^{2} — 8x + 12} = -4 \) — противоречие, т.к. корень не может быть отрицательным.
⇒ \( x \in ø \)
Второй корень: \( y = 6 \)
\( \sqrt{2x^{2} — 8x + 12} = 6 \)
Возводим в квадрат:
\( 2x^{2} — 8x + 12 = 36 \)
\( 2x^{2} — 8x — 24 = 0 \)
Разделим на 2:
\( x^{2} — 4x — 12 = 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = 16 + 48 = 64 \)
Корни:
\( x_{1} = \frac{4 — 8}{2} = -2 \)
\( x_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6 \)
Ответ: \( -2 \); \( 6 \)
б) \( \sqrt{x^{2} — 3x + 5} + x^{2} = 3x + 7 \)
1. Найдём область допустимых значений:
\( x^{2} — 3x + 5 \geq 0 \) — всегда верно (дискриминант отрицательный).
ОДЗ: любое \( x \in \mathbb{R} \)
2. Переносим всё в одну часть:
\( \sqrt{x^{2} — 3x + 5} + x^{2} — 3x — 7 = 0 \)
Пусть \( y = \sqrt{x^{2} — 3x + 5} \)
Тогда \( y^{2} = x^{2} — 3x + 5 \)
\( x^{2} — 3x = y^{2} — 5 \)
Подставим в уравнение:
\( y + y^{2} — 5 — 7 = 0 \)
\( y^{2} + y — 12 = 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( D = 1^{2} + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \)
Корни:
\( y_{1} = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \)
\( y_{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \)
Первый корень:
\( y = -4 \Rightarrow \sqrt{x^{2} — 3x + 5} = -4 \) — невозможно ⇒ \( x \in ø \)
Второй корень:
\( \sqrt{x^{2} — 3x + 5} = 3 \)
Возведём в квадрат:
\( x^{2} — 3x + 5 = 9 \)
\( x^{2} — 3x — 4 = 0 \)
Дискриминант: \( D = 9 + 16 = 25 \)
Корни:
\( x_{1} = \frac{3 — 5}{2} = -1 \)
\( x_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)
Ответ: \( -1 \); \( 4 \)
