ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \(\sin^2 x + \cos^2 2x = 1\);

б) \(\cos^2 3x — \sin^2 3x — \cos 4x = 0\)

Решить уравнение:

а) \(\sin^2 x + \cos^2 2x = 1\);

\(\frac{1 — \cos 2x}{2} + \cos^2 2x — 1 = 0\);

Пусть \(y = \cos 2x\), тогда:

\(\frac{1 — y}{2} + y^2 — 1 = 0\);

\(1 — y + 2y^2 — 2 = 0\);

\(2y^2 — y — 1 = 0\);

\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда:

\(y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\);

\(y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\);

Первое значение:

\(\cos 2x = -\frac{1}{2}\);

\(2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\);

\(x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n\);

Второе значение:

\(\cos 2x = 1\);

\(2x = 2\pi n\);

\(x = \pi n\);

Ответ: \(\frac{\pi n}{3}\).

б) \(\cos^2 3x — \sin^2 3x — \cos 4x = 0\);

\(\cos 6x — \cos 4x = 0\);

\(-2 \sin 5x \cdot \sin x = 0\);

Первое уравнение:

\(\sin x = 0\);

\(x = \pi n\);

Второе уравнение:

\(\sin 5x = 0\);

\(5x = \pi n\);

\(x = \frac{\pi n}{5}\);

Ответ: \(\frac{\pi n}{5}\).

а) \( \sin^2 x + \cos^2 2x = 1 \)

Используем основное тригонометрическое тождество:

\( \sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2} \)

Подставим в уравнение:

\( \frac{1 — \cos 2x}{2} + \cos^2 2x = 1 \)

Вынесем все в одну сторону уравнения:

\( \frac{1 — \cos 2x}{2} + \cos^2 2x — 1 = 0 \)

Обозначим: \( y = \cos 2x \), тогда уравнение примет вид:

\( \frac{1 — y}{2} + y^2 — 1 = 0 \)

Приведем дробь к общему знаменателю:

\( \frac{1 — y + 2y^2 — 2}{2} = 0 \)

\( \frac{2y^2 — y — 1}{2} = 0 \)

Домножим обе части уравнения на 2:

\( 2y^2 — y — 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \)

Найдем корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)

\( y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

Первый корень: \( \cos 2x = -\frac{1}{2} \)

Найдем 2x:

\( 2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \)

Из таблицы значений: \( \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} \)

Тогда:

\( 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)

Разделим обе части на 2:

\( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \)

Второй корень: \( \cos 2x = 1 \)

Тогда:

\( 2x = 2\pi n \)

\( x = \pi n \)

Общий ответ:

\( x = \pi n \) и \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \)

Объединяя, можно записать в виде: \( x = \frac{\pi n}{3} \)

б) \( \cos^2 3x — \sin^2 3x — \cos 4x = 0 \)

Используем формулу:

\( \cos^2 A — \sin^2 A = \cos 2A \)

Применим к выражению:

\( \cos 6x — \cos 4x = 0 \)

Переносим всё в одну сторону:

\( \cos 6x — \cos 4x = 0 \)

Используем формулу разности косинусов:

\( \cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right) \)

Подставим \( A = 6x \), \( B = 4x \):

\( \cos 6x — \cos 4x = -2 \sin\left(\frac{6x + 4x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{6x — 4x}{2}\right) \)

\( = -2 \sin 5x \cdot \sin x \)

Тогда уравнение примет вид:

\( -2 \sin 5x \cdot \sin x = 0 \)

Равенство произведения нулю означает, что хотя бы один из множителей равен нулю:

Первый случай: \( \sin x = 0 \)

\( x = \pi n \)

Второй случай: \( \sin 5x = 0 \)

\( 5x = \pi n \)

\( x = \frac{\pi n}{5} \)

Общий ответ:

\( x = \pi n \) и \( x = \frac{\pi n}{5} \)

Наименьшее общее решение в общем виде — \( x = \frac{\pi n}{5} \)

Ответ:

а) \( x = \frac{\pi n}{3} \)

б) \( x = \frac{\pi n}{5} \)