ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \cos 5x + \cos 7x — \cos 6x = 0 \);

б) \( \sin 9x — \sin 5x + \sin 4x = 0 \)

Решить уравнение:

а) \( \cos 5x + \cos 7x — \cos 6x = 0 \);
\( (\cos 7x + \cos 5x) — \cos 6x = 0 \);
\( 2 \cos 6x \cdot \cos x — \cos 6x = 0 \);
\( \cos 6x \cdot (2 \cos x — 1) = 0 \);

Первое уравнение:
\( \cos 6x = 0 \);
\( 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n \);
\( x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6} \);

Второе уравнение:
\( 2 \cos x — 1 = 0 \);
\( \cos x = \frac{1}{2} \);
\( x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \);

Ответ: \( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6} \); \( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \).

б) \( \sin 9x — \sin 5x + \sin 4x = 0 \);
\( (\sin 9x — \sin 5x) + \sin 4x = 0 \);
\( 2 \sin 2x \cdot \cos 7x + 2 \sin 2x \cdot \cos 2x = 0 \);
\( 2 \sin 2x \cdot (\cos 7x + \cos 2x) = 0 \);
\( 2 \sin 2x \cdot 2 \cos \frac{9x}{2} \cdot \cos \frac{5x}{2} = 0 \);

Первое уравнение:
\( \sin 2x = 0 \);
\( 2x = \pi n \);
\( x = \frac{\pi n}{2} \);

Второе уравнение:
\( \cos \frac{9x}{2} = 0 \);
\( \frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \);
\( x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9} \);

Третье уравнение:
\( \cos \frac{5x}{2} = 0 \);
\( \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \);
\( x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5} \);

Ответ: \( \frac{\pi n}{2} \); \( \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9} \); \( \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5} \).

Решить уравнение:

а) \( \cos 5x + \cos 7x — \cos 6x = 0 \)

Группируем первые два слагаемых:
\( (\cos 7x + \cos 5x) — \cos 6x = 0 \)

Используем формулу суммы косинусов:
\( \cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right) \)

Применяем к \( \cos 7x + \cos 5x \):
\( \cos 7x + \cos 5x = 2 \cos \left( \frac{7x + 5x}{2} \right) \cos \left( \frac{7x — 5x}{2} \right) = 2 \cos 6x \cdot \cos x \)

Подставим в исходное уравнение:
\( 2 \cos 6x \cdot \cos x — \cos 6x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( \cos 6x \):
\( \cos 6x \cdot (2 \cos x — 1) = 0 \)

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Первый случай: \( \cos 6x = 0 \)

Тогда:
\( 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
\( x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6} \)

Второй случай: \( 2 \cos x — 1 = 0 \)

Тогда:
\( \cos x = \frac{1}{2} \)
\( x = \pm \arccos \left( \frac{1}{2} \right) + 2\pi n \)
\( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \)

Ответ: \( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6} \); \( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \)

б) \( \sin 9x — \sin 5x + \sin 4x = 0 \)

Группируем первые два слагаемых:
\( (\sin 9x — \sin 5x) + \sin 4x = 0 \)

Используем формулу разности синусов:
\( \sin A — \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \)

Применим к \( \sin 9x — \sin 5x \):
\( \sin 9x — \sin 5x = 2 \cos \left( \frac{9x + 5x}{2} \right) \sin \left( \frac{9x — 5x}{2} \right) = 2 \cos 7x \cdot \sin 2x \)

Теперь учтём третье слагаемое:
\( 2 \cos 7x \cdot \sin 2x + \sin 4x = 0 \)

Представим \( \sin 4x \) как:
\( \sin 4x = 2 \sin 2x \cdot \cos 2x \) — формула двойного угла

Подставим:
\( 2 \cos 7x \cdot \sin 2x + 2 \sin 2x \cdot \cos 2x = 0 \)

Вынесем \( 2 \sin 2x \) за скобки:
\( 2 \sin 2x \cdot (\cos 7x + \cos 2x) = 0 \)

Теперь используем формулу суммы косинусов:
\( \cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right) \)

Применим к \( \cos 7x + \cos 2x \):
\( \cos 7x + \cos 2x = 2 \cos \left( \frac{7x + 2x}{2} \right) \cos \left( \frac{7x — 2x}{2} \right) = 2 \cos \frac{9x}{2} \cdot \cos \frac{5x}{2} \)

Подставим в уравнение:
\( 2 \sin 2x \cdot 2 \cos \frac{9x}{2} \cdot \cos \frac{5x}{2} = 0 \)

То есть:
\( 4 \sin 2x \cdot \cos \frac{9x}{2} \cdot \cos \frac{5x}{2} = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Рассмотрим каждый случай по отдельности:

Первый случай: \( \sin 2x = 0 \)
\( 2x = \pi n \)
\( x = \frac{\pi n}{2} \)

Второй случай: \( \cos \frac{9x}{2} = 0 \)
\( \frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
\( x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9} \)

Третий случай: \( \cos \frac{5x}{2} = 0 \)
\( \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
\( x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5} \)

Ответ: \( \frac{\pi n}{2} \); \( \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9} \); \( \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5} \)