ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \cos 6x — \cos 2x + \cos 8x — \cos 4x = 0 \);

б) \( \sin 3x — \sin x + \cos 3x — \cos x = 0 \)

Решить уравнение:

а) \( \cos 6x — \cos 2x + \cos 8x — \cos 4x = 0 \);
\( (\cos 6x — \cos 2x) + (\cos 8x — \cos 4x) = 0 \);
\( -2 \sin 4x \cdot \sin 2x — 2 \sin 6x \cdot \sin 2x = 0 \);
\( -2 \sin 2x \cdot (\sin 6x + \sin 4x) = 0 \);
\( -2 \sin 2x \cdot 2 \sin 5x \cdot \cos x = 0 \);

Первое уравнение:
\( \sin 2x = 0 \);
\( 2x = \pi n \);
\( x = \frac{\pi n}{2} \);

Второе уравнение:
\( \sin 5x = 0 \);
\( 5x = \pi n \);
\( x = \frac{\pi n}{5} \);

Третье уравнение:
\( \cos x = 0 \);
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \);

Ответ: \( \frac{\pi n}{2} \); \( \frac{\pi n}{5} \)

б) \( \sin 3x — \sin x + \cos 3x — \cos x = 0 \);
\( (\sin 3x — \sin x) + (\cos 3x — \cos x) = 0 \);
\( 2 \sin x \cdot \cos 2x — 2 \sin 2x \cdot \sin x = 0 \);
\( 2 \sin x \cdot (\cos 2x — \sin 2x) = 0 \);

Первое уравнение:
\( \sin x = 0 \);
\( x = \pi n \);

Второе уравнение:
\( \cos 2x — \sin 2x = 0 \ \vert \div \cos 2x \);
\( 1 — {tg}\ 2x = 0 \);
\( {tg}\ 2x = 1 \);
\( 2x = {arctg}\ 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \);
\( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \);

Ответ: \( \pi n \); \( \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \)

а) \( \cos 6x — \cos 2x + \cos 8x — \cos 4x = 0 \)

Группируем слагаемые попарно:
\( (\cos 6x — \cos 2x) + (\cos 8x — \cos 4x) = 0 \)

Используем формулу разности косинусов:
\( \cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \)

Первое слагаемое:
\( \cos 6x — \cos 2x = -2 \sin \left( \frac{6x + 2x}{2} \right) \sin \left( \frac{6x — 2x}{2} \right) = -2 \sin 4x \cdot \sin 2x \)

Второе слагаемое:
\( \cos 8x — \cos 4x = -2 \sin \left( \frac{8x + 4x}{2} \right) \sin \left( \frac{8x — 4x}{2} \right) = -2 \sin 6x \cdot \sin 2x \)

Подставим в уравнение:
\( -2 \sin 4x \cdot \sin 2x — 2 \sin 6x \cdot \sin 2x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( -2 \sin 2x \):
\( -2 \sin 2x \cdot (\sin 4x + \sin 6x) = 0 \)

Используем формулу суммы синусов:
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( \sin 4x + \sin 6x = 2 \sin 5x \cdot \cos x \)

Тогда уравнение принимает вид:
\( -2 \sin 2x \cdot 2 \sin 5x \cdot \cos x = 0 \)

То есть:
\( -4 \sin 2x \cdot \sin 5x \cdot \cos x = 0 \)

Произведение трёх множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

Первый случай: \( \sin 2x = 0 \)
\( 2x = \pi n \)
\( x = \frac{\pi n}{2} \)

Второй случай: \( \sin 5x = 0 \)
\( 5x = \pi n \)
\( x = \frac{\pi n}{5} \)

Третий случай: \( \cos x = 0 \)
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)

Ответ: \( \frac{\pi n}{2} \); \( \frac{\pi n}{5} \)

б) \( \sin 3x — \sin x + \cos 3x — \cos x = 0 \)

Группируем слагаемые:
\( (\sin 3x — \sin x) + (\cos 3x — \cos x) = 0 \)

Используем формулу разности синусов:
\( \sin A — \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( \sin 3x — \sin x = 2 \cos \left( \frac{3x + x}{2} \right) \sin \left( \frac{3x — x}{2} \right) = 2 \cos 2x \cdot \sin x \)

Используем формулу разности косинусов:
\( \cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( \cos 3x — \cos x = -2 \sin \left( \frac{3x + x}{2} \right) \sin \left( \frac{3x — x}{2} \right) = -2 \sin 2x \cdot \sin x \)

Теперь подставим оба результата в уравнение:
\( 2 \cos 2x \cdot \sin x — 2 \sin 2x \cdot \sin x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( 2 \sin x \):
\( 2 \sin x \cdot (\cos 2x — \sin 2x) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый случай: \( \sin x = 0 \)
\( x = \pi n \)

Второй случай: \( \cos 2x — \sin 2x = 0 \)

Решим уравнение:
\( \cos 2x — \sin 2x = 0 \ \vert \div \cos 2x \)
\( 1 — {tg}\ 2x = 0 \)
\( {tg}\ 2x = 1 \)
\( 2x = {arctg}\ 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \)
\( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \)

Ответ: \( \pi n \); \( \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \)