ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( 3 {tg}^2 x — 8 = 4 \cos^2 x \);

б) \( 4 \sin^2 x = 4 — 9 {tg}^2 x \)

Решить уравнение:

а) \( 3 {tg}^2 x — 8 = 4 \cos^2 x \);
\( 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — 8 — 4 \cos^2 x = 0 \ \vert \cdot \cos^2 x \);
\( 3 \sin^2 x — 8 \cos^2 x — 4 \cos^4 x = 0 \);
\( 3(1 — \cos^2 x) — 8 \cos^2 x — 4 \cos^4 x = 0 \);
\( 3 — 11 \cos^2 x — 4 \cos^4 x = 0 \);

Пусть \( y = \cos^2 x \), тогда:
\( 3 — 11y — 4y^2 = 0 \);
\( 4y^2 + 11y — 3 = 0 \);
\( D = 11^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 121 + 48 = 169 \), тогда:
\( y_1 = \frac{-11 — 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3 \);
\( y_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \);

Первое значение:
\( \cos^2 x = -3 \);
\( x \in ø \);

Второе значение:
\( \cos^2 x = \frac{1}{4} \);
\( 1 — \sin^2 x = \frac{1}{4} \);
\( \sin^2 x = \frac{3}{4} \);
\( \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( x = \pm \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \);

Ответ: \( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \).

б) \( 4 \sin^2 x = 4 — 9 {tg}^2 x \);
\( 4 — \frac{9 \sin^2 x}{\cos^2 x} — 4 \sin^2 x = 0 \ \vert \cdot \cos^2 x \);
\( 4 \cos^2 x — 9 \sin^2 x — 4 (1 — \cos^2 x) \cdot \cos^2 x = 0 \);
\( 4 \cos^2 x — 9 (1 — \cos^2 x) — 4 \cos^2 x + 4 \cos^4 x = 0 \);
\( 4 \cos^4 x + 9 \cos^2 x — 9 = 0 \);

Пусть \( y = \cos^2 x \), тогда:
\( 4y^2 + 9y — 9 = 0 \);
\( D = 9^2 + 4 \cdot 4 \cdot 9 = 81 + 144 = 225 \), тогда:
\( y_1 = \frac{-9 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3 \);
\( y_2 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \);

Первое значение:
\( \cos^2 x = -3 \);
\( x \in ø \);

Второе значение:
\( \cos^2 x = \frac{3}{4} \);
\( 1 — \sin^2 x = \frac{3}{4} \);
\( \sin^2 x = \frac{1}{4} \);
\( \sin x = \pm \frac{1}{2} \);
\( x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n \);

Ответ: \( \pm \frac{\pi}{6} + \pi n \).

Решить уравнение:

а) \( 3 {tg}^2 x — 8 = 4 \cos^2 x \)

Преобразуем tg²x через синус и косинус:
\( 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — 8 = 4 \cos^2 x \)

Переносим 4 cos²x в левую часть:
\( 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — 8 — 4 \cos^2 x = 0 \)

Умножаем обе части на \( \cos^2 x \):
\( 3 \sin^2 x — 8 \cos^2 x — 4 \cos^4 x = 0 \)

Раскрываем \(\sin^2 x = 1 — \cos^2 x\):
\( 3 (1 — \cos^2 x) — 8 \cos^2 x — 4 \cos^4 x = 0 \)

Раскрываем скобки:
\( 3 — 3 \cos^2 x — 8 \cos^2 x — 4 \cos^4 x = 0 \)

Собираем подобные члены:
\( 3 — 11 \cos^2 x — 4 \cos^4 x = 0 \)

Вводим замену \( y = \cos^2 x \):
\( 3 — 11y — 4y^2 = 0 \)

Приводим к стандартной форме:
\( 4y^2 + 11y — 3 = 0 \)

Находим дискриминант:
\( D = 11^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 121 + 48 = 169 \)

Решаем квадратное уравнение:
\( y_1 = \frac{-11 — 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3 \)
\( y_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

Первое значение:
\( \cos^2 x = -3 \), решений нет \( x \in ø \)

Второе значение:
\( \cos^2 x = \frac{1}{4} \)

Из \(\cos^2 x = \frac{1}{4}\) следует:
\( 1 — \sin^2 x = \frac{1}{4} \)
\( \sin^2 x = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
\( \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Решение для x:
\( x = \pm \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \)

Ответ: \( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \)

б) \( 4 \sin^2 x = 4 — 9 {tg}^2 x \)

Преобразуем tg²x через синус и косинус:
\( 4 — \frac{9 \sin^2 x}{\cos^2 x} — 4 \sin^2 x = 0 \)

Умножаем на \( \cos^2 x \):
\( 4 \cos^2 x — 9 \sin^2 x — 4 (1 — \cos^2 x) \cdot \cos^2 x = 0 \)

Раскрываем скобки:
\( 4 \cos^2 x — 9 (1 — \cos^2 x) — 4 \cos^2 x + 4 \cos^4 x = 0 \)

Раскрываем каждое выражение:
\( 4 \cos^2 x — 9 + 9 \cos^2 x — 4 \cos^2 x + 4 \cos^4 x = 0 \)

Собираем подобные:
\( 4 \cos^4 x + 9 \cos^2 x — 9 = 0 \)

Вводим замену \( y = \cos^2 x \):
\( 4y^2 + 9y — 9 = 0 \)

Находим дискриминант:
\( D = 9^2 + 4 \cdot 4 \cdot 9 = 81 + 144 = 225 \)

Решаем квадратное уравнение:
\( y_1 = \frac{-9 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3 \)
\( y_2 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)

Первое значение:
\( \cos^2 x = -3 \), решений нет \( x \in ø \)

Второе значение:
\( \cos^2 x = \frac{3}{4} \)

Из \(\cos^2 x = \frac{3}{4}\) следует:
\( 1 — \sin^2 x = \frac{3}{4} \)
\( \sin^2 x = \frac{1}{4} \)
\( \sin x = \pm \frac{1}{2} \)

Решение для x:
\( x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n \)

Ответ: \( \pm \frac{\pi}{6} + \pi n \)