Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( sin x \cdot cos x — 6 sin x + 6 cos x + 6 = 0; \)
б) \( 5 sin 2x — 11 sin x = 11 cos x — 7 \)
Решить уравнение:
а) \( \sin x \cdot \cos x — 6 \sin x + 6 \cos x + 6 = 0; \)
\( \sin x \cdot \cos x + 6(\cos x — \sin x) + 6 = 0; \)
Пусть \( y = \cos x — \sin x \), тогда:
\( y^2 = \cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x; \)
\( y^2 = 1 — 2 \sin x \cdot \cos x; \)
\( 2 \sin x \cdot \cos x = 1 — y^2; \)
\( \sin x \cdot \cos x = \frac{1 — y^2}{2}; \)
Подставим значение \( y \):
\( \frac{1 — y^2}{2} + 6 y + 6 = 0; \)
\( 1 — y^2 + 12 y + 12 = 0; \)
\( y^2 — 12 y — 13 = 0; \)
\( D = 12^2 + 4 \cdot 13 = 144 + 52 = 196 \), тогда:
\( y_1 = \frac{12 — 14}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{12 + 14}{2} = 13; \)
Преобразуем разность:
\( y = \cos x — \sin x = \sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right); \)
\( y = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x \right) = \sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right); \)
Первое значение:
\( \sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -1; \)
\( \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}; \)
\( x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2 \pi n \pm \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n; \)
\( x_1 = -\frac{\pi}{4} — \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n = -\pi + 2 \pi n; \)
\( x_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n; \)
Второе значение:
\( \sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 13; \)
\( \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{13}{\sqrt{2}}; \)
\( x \in ø; \)
Ответ: \( \pi + 2 \pi n; \quad \frac{\pi}{2} + 2 \pi n. \)
б) \( 5 \sin 2x — 11 \sin x = 11 \cos x — 7; \)
\( 5 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x — 11 \sin x — 11 \cos x + 7 = 0; \)
\( 10 \sin x \cdot \cos x — 11(\sin x + \cos x) + 7 = 0; \)
Пусть \( y = \sin x + \cos x \), тогда:
\( y^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x; \)
\( y^2 = 1 + 2 \sin x \cdot \cos x; \)
\( 2 \sin x \cdot \cos x = y^2 — 1; \)
\( \sin x \cdot \cos x = \frac{y^2 — 1}{2}; \)
Подставим значение \( y \):
\( 10 \cdot \frac{y^2 — 1}{2} — 11 y + 7 = 0; \)
\( 5 y^2 — 5 — 11 y + 7 = 0; \)
\( 5 y^2 — 11 y + 2 = 0; \)
\( D = 11^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 — 40 = 81 \), тогда:
\( y_1 = \frac{11 — 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}; \)
\( y_2 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2; \)
Преобразуем сумму:
\( y = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right); \)
\( y = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x \right) = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right); \)
Первое значение:
\( \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{5} \quad | \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}; \)
\( \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{10}; \)
\( x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi n; \)
\( x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi n; \)
Второе значение:
\( \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 2; \)
\( \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}; \)
\( x \in ø; \)
Ответ: \( -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi n. \)
а) Уравнение:
\( \sin x \cdot \cos x — 6 \sin x + 6 \cos x + 6 = 0 \)
Шаг 1. Перепишем уравнение, выделив общий множитель в части с синусом и косинусом:
\( \sin x \cdot \cos x + 6(\cos x — \sin x) + 6 = 0 \)
Шаг 2. Введём замену:
\( y = \cos x — \sin x \)
Шаг 3. Найдём выражение для \( \sin x \cdot \cos x \) через \( y \).
Возьмём квадрат \( y \):
\( y^2 = (\cos x — \sin x)^2 = \cos^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + \sin^2 x \)
Поскольку \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), получаем:
\( y^2 = 1 — 2 \sin x \cdot \cos x \)
Отсюда выразим произведение:
\( 2 \sin x \cdot \cos x = 1 — y^2 \quad \Rightarrow \quad \sin x \cdot \cos x = \frac{1 — y^2}{2} \)
Шаг 4. Подставим это в исходное уравнение:
\( \frac{1 — y^2}{2} + 6 y + 6 = 0 \)
Шаг 5. Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
\( 1 — y^2 + 12 y + 12 = 0 \)
Шаг 6. Приведём подобные слагаемые:
\( — y^2 + 12 y + 13 = 0 \)
Шаг 7. Умножим обе части на -1 для удобства:
\( y^2 — 12 y — 13 = 0 \)
Шаг 8. Решим квадратное уравнение по формуле:
\( D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196 \)
Корни:
\( y_1 = \frac{12 — \sqrt{196}}{2} = \frac{12 — 14}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
\( y_2 = \frac{12 + \sqrt{196}}{2} = \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13 \)
Шаг 9. Вернёмся к замене \( y = \cos x — \sin x \).
Преобразуем выражение для \( y \), используя формулы суммы и разности углов:
\( y = \cos x — \sin x = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right) \)
Так как \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} \), то:
\( y = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x \right) = \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \)
Шаг 10. Рассмотрим первое значение \( y_1 = -1 \):
\( \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -1 \quad \Rightarrow \quad \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
Решим уравнение \( \cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Известно, что:
\( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3 \pi}{4} \)
Общее решение для косинуса:
\( \theta = \pm \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
Заменим \( \theta = x + \frac{\pi}{4} \):
\( x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n \)
Отсюда два семейства решений:
\( x_1 = -\frac{\pi}{4} — \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n = -\pi + 2 \pi n \)
\( x_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \)
Шаг 11. Рассмотрим второе значение \( y_2 = 13 \):
\( \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 13 \quad \Rightarrow \quad \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{13}{\sqrt{2}} \)
Так как косинус не может быть больше 1, решений нет:
\( x \in ø \)
Ответ для пункта а):
\( x = -\pi + 2 \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
б) Уравнение:
\( 5 \sin 2x — 11 \sin x = 11 \cos x — 7 \)
Шаг 1. Используем формулу двойного угла для синуса:
\( \sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x \)
Подставим в уравнение:
\( 5 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x — 11 \sin x = 11 \cos x — 7 \)
Шаг 2. Раскроем скобки:
\( 10 \sin x \cdot \cos x — 11 \sin x = 11 \cos x — 7 \)
Шаг 3. Перенесём все члены в левую часть:
\( 10 \sin x \cdot \cos x — 11 \sin x — 11 \cos x + 7 = 0 \)
Шаг 4. Введём замену:
\( y = \sin x + \cos x \)
Шаг 5. Найдём выражение для \( \sin x \cdot \cos x \) через \( y \).
Возьмём квадрат \( y \):
\( y^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x \)
Поскольку \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), то:
\( y^2 = 1 + 2 \sin x \cdot \cos x \)
Отсюда выразим произведение:
\( 2 \sin x \cdot \cos x = y^2 — 1 \quad \Rightarrow \quad \sin x \cdot \cos x = \frac{y^2 — 1}{2} \)
Шаг 6. Подставим это в уравнение:
\( 10 \cdot \frac{y^2 — 1}{2} — 11 y + 7 = 0 \)
Шаг 7. Упростим:
\( 5 y^2 — 5 — 11 y + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5 y^2 — 11 y + 2 = 0 \)
Шаг 8. Решим квадратное уравнение:
\( D = (-11)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 — 40 = 81 \)
Корни:
\( y_1 = \frac{11 — 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
\( y_2 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2 \)
Шаг 9. Вернёмся к замене \( y = \sin x + \cos x \).
Преобразуем сумму с помощью формул суммы углов:
\( y = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right) \)
Так как \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} \), то:
\( y = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \)
Шаг 10. Рассмотрим первое значение \( y_1 = \frac{1}{5} \):
\( \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}/\sqrt{2}} \)
Упростим умножением на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{10} \)
Общее решение уравнения \( \sin \theta = a \) имеет вид:
\( \theta = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Заменим \( \theta = x + \frac{\pi}{4} \):
\( x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin \left( \frac{\sqrt{2}}{10} \right) + \pi n \)
Отсюда:
\( x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin \left( \frac{\sqrt{2}}{10} \right) + \pi n \)
Шаг 11. Рассмотрим второе значение \( y_2 = 2 \):
\( \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \quad \Rightarrow \quad \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \)
Так как синус не может быть больше 1, решений нет:
\( x \in ø \)
Ответ для пункта б):
\( x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin \left( \frac{\sqrt{2}}{10} \right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
