ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \(2^{x} \cdot 5^{\frac{1+x}{x}} = 50\);

б) \(3^{x} \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 24\);

в) \(3^{x-1} \cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}} = 225\);

г) \(5^{x} \cdot 2^{\frac{2+x}{x}} = 40\)

Решить уравнение:

а) \(2^{x} \cdot 5^{\frac{1+x}{x}} = 50\);
\(2^{x} \cdot 5^{\frac{1}{x}+1} = 5^{2} \cdot 2\);
\(2^{x} \cdot 5^{\frac{1}{x}} = 5 \cdot 2\);
\(\log_{2}\left(2^{x} \cdot 5^{\frac{1}{x}}\right) = \log_{2}(5 \cdot 2)\);
\(\log_{2} 2^{x} + \log_{2} 5^{\frac{1}{x}} = \log_{2} 5 + \log_{2} 2\);
\(x \cdot \log_{2} 2 + \frac{1}{x} \cdot \log_{2} 5 = \log_{2} 5 + 1\);
\(x \cdot 1 — (1 + \log_{2} 5) + \frac{1}{x} \cdot \log_{2} 5 = 0 \quad | \cdot x\)
\(x^{2} — (1 + \log_{2} 5) \cdot x + \log_{2} 5 = 0\);
\(D = (1 + \log_{2} 5)^{2} — 4 \cdot \log_{2} 5 = 1 + 2 \log_{2} 5 + \log_{2}^{2} 5 — 4 \log_{2} 5\);
\(D = 1 — 2 \log_{2} 5 + \log_{2}^{2} 5 = (1 — \log_{2} 5)^{2}\), тогда:
\(x_{1} = \frac{(1 + \log_{2} 5) — (1 — \log_{2} 5)}{2} = \frac{2 \log_{2} 5}{2} = \log_{2} 5\);
\(x_{2} = \frac{(1 + \log_{2} 5) + (1 — \log_{2} 5)}{2} = \frac{2}{2} = 1\);
Ответ: \(\log_{2} 5 ; 1\).

б) \(3^{x} \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 24\);
\(3^{x} \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 3 \cdot 2^{3}\);
\(\log_{3}\left(3^{x} \cdot 2^{\frac{3}{x}}\right) = \log_{3}(3 \cdot 2^{3})\);
\(\log_{3} 3^{x} + \log_{3} 2^{\frac{3}{x}} = \log_{3} 3 + \log_{3} 2^{3}\);
\(x \cdot \log_{3} 3 + \frac{3}{x} \cdot \log_{3} 2 = 1 + 3 \log_{3} 2\);
\(x \cdot 1 — (1 + 3 \log_{3} 2) + \frac{3}{x} \cdot \log_{3} 2 = 0 \quad | \cdot x\);
\(x^{2} — (1 + 3 \log_{3} 2) \cdot x + 3 \log_{3} 2 = 0\);
\(D = (1 + 3 \log_{3} 2)^{2} — 4 \cdot 3 \log_{3} 2 = 1 + 6 \log_{3} 2 + 9 \log_{3}^{2} 2 — 12 \log_{3} 2\);
\(D = 1 — 6 \log_{3} 2 + 9 \log_{3}^{2} 2 = (1 — 3 \log_{3} 2)^{2}\), тогда:
\(x_{1} = \frac{(1 + 3 \log_{3} 2) — (1 — 3 \log_{3} 2)}{2} = \frac{6 \log_{3} 2}{2} = 3 \log_{3} 2\);
\(x_{2} = \frac{(1 + 3 \log_{3} 2) + (1 — 3 \log_{3} 2)}{2} = \frac{2}{2} = 1\);
Ответ: \(3 \log_{3} 2 ; 1\).

в) \(3^{x-1} \cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}} = 225\);
\(3^{x-1} \cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}} = 3^{2} \cdot 5^{2}\);
\(\log_{3}\left(3^{x-1} \cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}}\right) = \log_{3}(3^{2} \cdot 5^{2})\);
\(\log_{3} 3^{x-1} + \log_{3} 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}} = \log_{3} 3^{2} + \log_{3} 5^{2}\);
\((x-1) \cdot \log_{3} 3 + \frac{4(x-2)}{x-1} \cdot \log_{3} 5 = 2 \log_{3} 3 + 2 \log_{3} 5\);
\((x-1) \cdot 1 + \frac{4(x-1)-4}{x-1} \cdot \log_{3} 5 = 2 \cdot 1 + 2 \log_{3} 5\);
\((x-1) + 4 \log_{3} 5 — \frac{4}{x-1} \cdot \log_{3} 5 = 2 + 2 \log_{3} 5\);
\((x-1) + (2 \log_{3} 5 — 2) — \frac{4}{x-1} \cdot \log_{3} 5 = 0 \quad | \cdot (x-1)\);
\((x-1)^{2} + (2 \log_{3} 5 — 2) \cdot (x-1) — 4 \log_{3} 5 = 0\);
Пусть \(y = x-1\), тогда:
\(y^{2} + (2 \log_{3} 5 — 2) \cdot y — 4 \log_{3} 5 = 0\);
\(D = (2 \log_{3} 5 — 2)^{2} + 4 \cdot 4 \log_{3} 5 = 4 \log_{3}^{2} 5 — 8 \log_{3} 5 + 4 + 16 \log_{3} 5\);
\(D = 4 \log_{3}^{2} 5 + 8 \log_{3} 5 + 4 = (2 \log_{3} 5 + 2)^{2}\), тогда:
\(y_{1} = \frac{-(2 \log_{3} 5 — 2) — (2 \log_{3} 5 + 2)}{2} = \frac{-4 \log_{3} 5}{2} = -2 \log_{3} 5\);
\(y_{2} = \frac{-(2 \log_{3} 5 — 2) + (2 \log_{3} 5 + 2)}{2} = \frac{4}{2} = 2\);
\(x_{1} = y_{1} + 1 = 1 — 2 \log_{3} 5 = \log_{3} 3 — \log_{3} 5^{2} = \log_{3} \frac{3}{25} = \log_{3} 0,12\);
\(x_{2} = y_{2} + 1 = 2 + 1 = 3\);
Ответ: \(\log_{3} 0,12 ; 3\).

г) \(5^{x} \cdot 2^{\frac{2+x}{x}} = 40\);
\(5^{x} \cdot 2^{\frac{2}{x}+1} = 2^{3} \cdot 5\);
\(5^{x} \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 2^{2} \cdot 5\);
\(\log_{5}\left(5^{x} \cdot 2^{\frac{2}{x}}\right) = \log_{5}(2^{2} \cdot 5)\);
\(\log_{5} 5^{x} + \log_{5} 2^{\frac{2}{x}} = \log_{5} 2^{2} + \log_{5} 5\);
\(x \cdot \log_{5} 5 + \frac{2}{x} \cdot \log_{5} 2 = 2 \log_{5} 2 + 1\);
\(x \cdot 1 — (1 + 2 \log_{5} 2) + \frac{2}{x} \cdot \log_{5} 2 = 0 \quad | \cdot x\);
\(x^{2} — (1 + 2 \log_{5} 2) \cdot x + 2 \log_{5} 2 = 0\);
\(D = (1 + 2 \log_{5} 2)^{2} — 4 \cdot 2 \log_{5} 2 = 1 + 4 \log_{5} 2 + 4 \log_{5}^{2} 2 — 8 \log_{5} 2\);
\(D = 1 — 4 \log_{5} 2 + 4 \log_{5}^{2} 2 = (1 — 2 \log_{5} 2)^{2}\), тогда:
\(x_{1} = \frac{(1 + 2 \log_{5} 2) + (1 — 2 \log_{5} 2)}{2} = \frac{2}{2} = 1\);
\(x_{2} = \frac{(1 + 2 \log_{5} 2) — (1 — 2 \log_{5} 2)}{2} = \frac{4 \log_{5} 2}{2} = \log_{5} 2^{2} = \log_{5} 4\);
Ответ: \(1 ; \log_{5} 4\).

Решить уравнение:

а) \(2^{x} \cdot 5^{\frac{1+x}{x}} = 50\)

Шаг 1. Разделим показатель степени числа 5 на сумму дробей:
\(2^{x} \cdot 5^{\frac{1+x}{x}} = 2^{x} \cdot 5^{\frac{1}{x}+1}\)

Шаг 2. Представим 50 как произведение простых чисел:
\(50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^{2}\)

Шаг 3. Подставим это в уравнение:
\(2^{x} \cdot 5^{\frac{1}{x}+1} = 2 \cdot 5^{2}\)

Шаг 4. Разделим обе стороны на 2 и 5, чтобы оставить только степени:
\(2^{x} \cdot 5^{\frac{1}{x}} = 2 \cdot 5\)

Шаг 5. Применим логарифм по основанию 2:
\(\log_{2}(2^{x} \cdot 5^{\frac{1}{x}}) = \log_{2}(2 \cdot 5)\)

Шаг 6. Используем свойство логарифма произведения:
\(\log_{2} 2^{x} + \log_{2} 5^{\frac{1}{x}} = \log_{2} 2 + \log_{2} 5\)

Шаг 7. Выносим показатели перед логарифмом:
\(x \cdot \log_{2} 2 + \frac{1}{x} \cdot \log_{2} 5 = 1 + \log_{2} 5\)

Шаг 8. Приведём к квадратному уравнению, умножив на \(x\):
\(x^2 — (1 + \log_{2} 5) \cdot x + \log_{2} 5 = 0\)

Шаг 9. Находим дискриминант:
\(D = (1 + \log_{2} 5)^2 — 4 \cdot \log_{2} 5 = 1 + 2 \log_{2} 5 + (\log_{2} 5)^2 — 4 \log_{2} 5 =\)

\(= (1 — \log_{2} 5)^2\)

Шаг 10. Решаем квадратное уравнение:
\(x_{1} = \frac{(1 + \log_{2} 5) — (1 — \log_{2} 5)}{2} = \log_{2} 5\)
\(x_{2} = \frac{(1 + \log_{2} 5) + (1 — \log_{2} 5)}{2} = 1\)

Ответ: \(\log_{2} 5 ; 1\)

б) \(3^{x} \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 24\)

Шаг 1. Представим 24 как произведение простых чисел:
\(24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3\)

Шаг 2. Применяем логарифм по основанию 3:
\(\log_{3}(3^{x} \cdot 2^{\frac{3}{x}}) = \log_{3}(3 \cdot 2^3)\)

Шаг 3. Используем свойства логарифмов:
\(\log_{3} 3^{x} + \log_{3} 2^{\frac{3}{x}} = \log_{3} 3 + \log_{3} 2^3\)

Шаг 4. Выносим показатели перед логарифмом:
\(x \cdot 1 + \frac{3}{x} \cdot \log_{3} 2 = 1 + 3 \log_{3} 2\)

Шаг 5. Приведём к квадратному уравнению, умножив на \(x\):
\(x^2 — (1 + 3 \log_{3} 2) \cdot x + 3 \log_{3} 2 = 0\)

Шаг 6. Находим дискриминант:
\(D = (1 + 3 \log_{3} 2)^2 — 4 \cdot 3 \log_{3} 2 = 1 — 6 \log_{3} 2 + 9 (\log_{3} 2)^2 = \)

\(= (1 — 3 \log_{3} 2)^2\)

Шаг 7. Решаем квадратное уравнение:
\(x_{1} = \frac{(1 + 3 \log_{3} 2) — (1 — 3 \log_{3} 2)}{2} = 3 \log_{3} 2\)
\(x_{2} = \frac{(1 + 3 \log_{3} 2) + (1 — 3 \log_{3} 2)}{2} = 1\)

Ответ: \(3 \log_{3} 2 ; 1\)

в) \(3^{x-1} \cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}} = 225\)

Шаг 1. Представим 625 как \(5^4\) и 225 как \(3^2 \cdot 5^2\):
\(3^{x-1} \cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}} = 3^2 \cdot 5^2\)

Шаг 2. Применяем логарифм по основанию 3:
\(\log_{3}(3^{x-1} \cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}}) = \log_{3}(3^2 \cdot 5^2)\)

Шаг 3. Используем свойства логарифмов:
\((x-1) \cdot \log_{3} 3 + \frac{4(x-2)}{x-1} \cdot \log_{3} 5 = 2 \log_{3} 3 + 2 \log_{3} 5\)

Шаг 4. Преобразуем:\)
\((x-1) + 4 \log_{3} 5 — \frac{4}{x-1} \cdot \log_{3} 5 = 2 + 2 \log_{3} 5\)

Шаг 5. Вычитаем 2 + 2 \(\log_{3} 5\) с обеих сторон:
\((x-1) + 2 \log_{3} 5 — 2 — \frac{4}{x-1} \cdot \log_{3} 5 = 0\)

Шаг 6. Обозначаем \(y = x-1\) и умножаем на \(y\):
\(y^2 + (2 \log_{3} 5 — 2) \cdot y — 4 \log_{3} 5 = 0\)

Шаг 7. Дискриминант:
\(D = (2 \log_{3} 5 — 2)^2 + 16 \log_{3} 5 = (2 \log_{3} 5 + 2)^2\)

Шаг 8. Решаем квадратное уравнение для y:
\(y_1 = \frac{-(2 \log_{3} 5 — 2) — (2 \log_{3} 5 + 2)}{2} = -2 \log_{3} 5\)
\(y_2 = \frac{-(2 \log_{3} 5 — 2) + (2 \log_{3} 5 + 2)}{2} = 2\)

Шаг 9. Возвращаемся к x:
\(x_1 = y_1 + 1 = 1 — 2 \log_{3} 5 = \log_{3} \frac{3}{25} = \log_{3} 0,12\)
\(x_2 = y_2 + 1 = 3\)

Ответ: \(\log_{3} 0,12 ; 3\)

г) \(5^{x} \cdot 2^{\frac{2+x}{x}} = 40\)

Шаг 1. Представим 40 как \(2^3 \cdot 5\):
\(5^{x} \cdot 2^{\frac{2+x}{x}} = 5 \cdot 2^3\)

Шаг 2. Разделяем показатель дроби:
\(5^{x} \cdot 2^{\frac{2}{x}+1} = 5 \cdot 2^3 \Rightarrow 5^{x} \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 5 \cdot 2^2\)

Шаг 3. Применяем логарифм по основанию 5:
\(\log_{5}(5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}}) = \log_{5}(5 \cdot 2^2)\)

Шаг 4. Используем свойства логарифмов:
\(x \cdot 1 + \frac{2}{x} \cdot \log_{5} 2 = 1 + 2 \log_{5} 2\)

Шаг 5. Умножаем на \(x\) и приводим к квадратному уравнению:
\(x^2 — (1 + 2 \log_{5} 2) \cdot x + 2 \log_{5} 2 = 0\)

Шаг 6. Дискриминант:
\(D = (1 + 2 \log_{5} 2)^2 — 8 \log_{5} 2 = (1 — 2 \log_{5} 2)^2\)

Шаг 7. Решаем квадратное уравнение:
\(x_1 = \frac{(1 + 2 \log_{5} 2) + (1 — 2 \log_{5} 2)}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{(1 + 2 \log_{5} 2) — (1 — 2 \log_{5} 2)}{2} = \log_{5} 4\)

Ответ: \(1 ; \log_{5} 4\)