Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( 2^{5x-1} \cdot \left( \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \log_{0,5}(x + 4) = 0 \);
б) \( (\sin 2x + \cos 2x)(x — 8\sqrt{2x — 15}) = 0 \)
Решить уравнение:
а) \( 2^{5x-1} \cdot \left( \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \log_{0,5}(x + 4) = 0 \);
Первое уравнение:
\( 2^{5x-1} = 0 \);
\( x \in ø \);
Второе уравнение:
\( \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \);
\( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \);
Третье уравнение:
\( \log_{0,5}(x + 4) = 0 \);
\( x + 4 = 1 \);
\( x = -3 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x + 4 > 0 \);
\( x > -4 \);
Ответ: \( -3; (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \ge 0 \).
б) \( (\sin 2x + \cos 2x)(x — 8\sqrt{2x — 15}) = 0 \);
Первое уравнение:
\( \sin 2x + \cos 2x = 0 \ | \ \cos 2x \);
\( {tg} 2x + 1 = 0 \);
\( {tg} 2x = -1 \);
\( 2x = -{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n \);
\( x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \);
Второе уравнение:
\( x — 8\sqrt{2x — 15} = 0 \);
\( x = 8\sqrt{2x — 15} \);
\( x^2 = 64(2x — 15) \);
\( x^2 = 128x — 960 \);
\( x^2 — 128x + 960 = 0 \);
\( D = 128^2 — 4 \cdot 960 = 16\,384 — 3\,840 = 12\,544 \), тогда:
\( x_1 = \frac{128 — 112}{2} = 8 \) и \( x_2 = \frac{128 + 112}{2} = 120 \);
Уравнение имеет решения при:
\( 2x — 15 \ge 0 \pm x \ge 7,5 \);
\( x \ge 0 \);
Ответ: \( 8; \ 120; \ -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \ n \ge 6 \).
а) \( 2^{5x-1} \cdot \left( \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \log_{0,5}(x + 4) = 0 \)
Шаг 1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, решаем три уравнения:
- \( 2^{5x-1} = 0 \)
- \( \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \)
- \( \log_{0,5}(x + 4) = 0 \)
Первое уравнение:
\( 2^{5x-1} = 0 \)
Поскольку основание степени \(2 > 0\) и степень не может сделать выражение равным нулю, решений нет:
\( x \in ø \)
Второе уравнение:
\( \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Известно, что \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) при углах \( x = \frac{\pi}{3} \) и \( x = \frac{2\pi}{3} \) в пределах одного периода.
Общее решение для \( \sin x = a \) записывается как:
\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Подставляя \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем:
\( x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Третье уравнение:
\( \log_{0,5}(x + 4) = 0 \)
По свойству логарифмов:
\( \log_a b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 1 \)
Значит:
\( x + 4 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \)
Условие области определения логарифма:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\( x + 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -4 \)
Значения \( x = -3 \) и все решения второго уравнения удовлетворяют этому условию.
Ответ для пункта а):
\( x = -3; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \ge 0 \)
б) Рассмотрим уравнение:
\( (\sin 2x + \cos 2x)(x — 8\sqrt{2x — 15}) = 0 \)
Шаг 1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, решаем два уравнения:
- \( \sin 2x + \cos 2x = 0 \)
- \( x — 8\sqrt{2x — 15} = 0 \)
Первое уравнение:
\( \sin 2x + \cos 2x = 0 \)
Разделим обе части на \( \cos 2x \) (при условии, что \( \cos 2x \neq 0 \)):
\( \frac{\sin 2x}{\cos 2x} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad {tg} 2x + 1 = 0 \)
Отсюда:
\( {tg} 2x = -1 \)
Общее решение уравнения \( {tg} \theta = a \):
\( \theta = {arctg} a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Подставляем \( a = -1 \):
\( 2x = {arctg}(-1) + \pi n \)
Известно, что \( {arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} \), значит:
\( 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \)
Отсюда:
\( x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \)
Второе уравнение:
\( x — 8\sqrt{2x — 15} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 8\sqrt{2x — 15} \)
Возведём обе части в квадрат:
\( x^2 = 64(2x — 15) \)
Раскроем скобки:
\( x^2 = 128x — 960 \)
Перенесём все в левую часть:
\( x^2 — 128x + 960 = 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = (-128)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 960 = 16384 — 3840 = 12544 \)
Найдём корни:
\( x_1 = \frac{128 — \sqrt{12544}}{2}, \quad x_2 = \frac{128 + \sqrt{12544}}{2} \)
Вычислим \( \sqrt{12544} \):
\( \sqrt{12544} = 112 \)
Тогда:
\( x_1 = \frac{128 — 112}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
\( x_2 = \frac{128 + 112}{2} = \frac{240}{2} = 120 \)
Проверим область определения подкоренного выражения:
\( 2x — 15 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \ge \frac{15}{2} = 7.5 \)
Также из исходного уравнения \( x = 8\sqrt{2x — 15} \) следует, что \( x \ge 0 \).
Корни \( x_1 = 8 \) и \( x_2 = 120 \) удовлетворяют этим условиям.
Ответ для пункта б):
\( x = 8; \quad x = 120; \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \ge 6 \)
