ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \log_3(x^2 — 10x + 40) = \log_3(4x — 8); \)

б) \( \log_{\sqrt{3}}\left(\frac{x — 2}{2x — 4}\right) = \log_{\sqrt{3}}\left(\frac{x + 1}{x + 2}\right) \)

Решить уравнение:

а) \( \log_3(x^2 — 10x + 40) = \log_3(4x — 8); \)

\( x^2 — 10x + 40 = 4x — 8; \)

\( x^2 — 14x + 48 = 0; \)

\( D = 14^2 — 4 \cdot 48 = 196 — 192 = 4, \) тогда:

\( x_1 = \frac{14 — 2}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{14 + 2}{2} = 8; \)

Выполним проверку:

\( \log_3(6^2 — 10 \cdot 6 + 40) — \log_3(4 \cdot 6 — 8) = \log_3 16 — \log_3 16 = 0; \)

\( \log_3(8^2 — 10 \cdot 8 + 40) — \log_3(4 \cdot 8 — 8) = \log_3 24 — \log_3 24 = 0; \)

Ответ: 6; 8.

б) \( \log_{\sqrt{3}}\left(\frac{x — 2}{2x — 4}\right) = \log_{\sqrt{3}}\left(\frac{x + 1}{x + 2}\right); \)

\( \frac{x — 2}{2x — 4} = \frac{x + 1}{x + 2}; \)

\( (x — 2)(x + 2) = (x + 1)(2x — 4); \)

\( x^2 + 2x — 2x — 4 = 2x^2 — 4x + 2x — 4; \)

\( x^2 — 2x = 0; \)

\( x(x — 2) = 0; \)

\( x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2; \)

Выполним проверку:

\( \log_{\sqrt{3}}\left(\frac{0 — 2}{2 \cdot 0 — 4}\right) — \log_{\sqrt{3}}\left(\frac{0 + 1}{0 + 2}\right) = \log_{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{2}\right) — \log_{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{2}\right) = 0; \)

\( \log_{\sqrt{3}}\left(\frac{2 — 2}{2 \cdot 2 — 4}\right) = \log_{\sqrt{3}}\left(\frac{0}{0}\right) \) — не имеет смысла;

Ответ: 0.

а) \( \log_3(x^2 — 10x + 40) = \log_3(4x — 8) \)

Шаг 1: применим свойство логарифмов.

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, и они определены, то их аргументы равны:

\( \log_3 A = \log_3 B \Rightarrow A = B \), при \( A > 0, B > 0 \)

Следовательно, уравнение эквивалентно:

\( x^2 — 10x + 40 = 4x — 8 \)

Шаг 2: перенесём все слагаемые в левую часть.

\( x^2 — 10x + 40 — 4x + 8 = 0 \)

\( x^2 — 14x + 48 = 0 \)

Шаг 3: найдём дискриминант.

\( D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 — 192 = 4 \)

Шаг 4: найдём корни по формуле:

\( x = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2} \)

\( x_1 = \frac{14 — 2}{2} = 6 \), \( x_2 = \frac{14 + 2}{2} = 8 \)

Шаг 5: проверим, входят ли корни в область допустимых значений (ОДЗ).

• Аргументы логарифмов должны быть положительными:
• \( x^2 — 10x + 40 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} \)
• \( 4x — 8 > 0 \Rightarrow x > 2 \)

Оба значения \( x = 6 \) и \( x = 8 \) больше 2 → удовлетворяют ОДЗ.

Шаг 6: выполним проверку подстановкой.

Для \( x = 6 \):

\( \log_3(6^2 — 10 \cdot 6 + 40) = \log_3(36 — 60 + 40) = \log_3(16) \)

\( \log_3(4 \cdot 6 — 8) = \log_3(24 — 8) = \log_3(16) \)

Обе части равны → подходит.

Для \( x = 8 \):

\( \log_3(8^2 — 10 \cdot 8 + 40) = \log_3(64 — 80 + 40) = \log_3(24) \)

\( \log_3(4 \cdot 8 — 8) = \log_3(32 — 8) = \log_3(24) \)

Обе части равны → подходит.

Ответ: \( 6; \ 8 \)

б) \( \log_{\sqrt{3}}\left( \frac{x — 2}{2x — 4} \right) = \log_{\sqrt{3}}\left( \frac{x + 1}{x + 2} \right) \)

Шаг 1: применим равенство логарифмов.

\( \log_a A = \log_a B \Rightarrow A = B \), при \( A > 0, B > 0, a > 0, a \ne 1 \)

Тогда:

\( \frac{x — 2}{2x — 4} = \frac{x + 1}{x + 2} \)

Шаг 2: заметим, что \( 2x — 4 = 2(x — 2) \). Сократим дробь:

\( \frac{x — 2}{2(x — 2)} = \frac{1}{2} \), при \( x \ne 2 \)

Тогда исходное равенство упрощается:

\( \frac{1}{2} = \frac{x + 1}{x + 2} \)

Шаг 3: решим уравнение пропорцией.

\( (x + 1) = \frac{1}{2}(x + 2) \)

Умножим обе части на 2:

\( 2(x + 1) = x + 2 \)

\( 2x + 2 = x + 2 \)

\( 2x — x = 2 — 2 \Rightarrow x = 0 \)

Шаг 4: найдём также второй корень по исходному виду уравнения.

Решим уравнение:

\( \frac{x — 2}{2x — 4} = \frac{x + 1}{x + 2} \)

Перемножим крест-накрест:

\( (x — 2)(x + 2) = (x + 1)(2x — 4) \)

Левая часть:

\( x^2 + 2x — 2x — 4 = x^2 — 4 \)

Правая часть (раскроем по формуле):

\( (x + 1)(2x — 4) = 2x^2 — 4x + 2x — 4 = 2x^2 — 2x — 4 \)

Получаем уравнение:

\( x^2 — 4 = 2x^2 — 2x — 4 \)

Перенесём всё в одну сторону:

\( x^2 — 4 — 2x^2 + 2x + 4 = 0 \)

\( -x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x^2 — 2x = 0 \Rightarrow x(x — 2) = 0 \)

Значит, \( x = 0 \) или \( x = 2 \)

Шаг 5: проверим область допустимых значений (ОДЗ).

• Аргументы логарифмов должны быть положительными.
• Левый аргумент: \( \frac{x — 2}{2x — 4} \)
• Нельзя делить на 0: \( 2x — 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2 \)
• Также \( \frac{x — 2}{2x — 4} > 0 \), и \( \frac{x + 1}{x + 2} > 0 \)

Проверим оба корня:

При \( x = 0 \):

\( \frac{x — 2}{2x — 4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} > 0 \)

\( \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2} > 0 \)

Обе дроби положительны, логарифмы существуют — корень подходит.

При \( x = 2 \):

\( 2x — 4 = 0 \Rightarrow \) знаменатель обращается в ноль — недопустимо.

Ответ: \( 0 \)