Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sin \frac{5\pi}{4} x = x^2 — 4x + 5 \);
б) \( -\cos 7\pi x = x^2 — 6x + 10 \)
Решить уравнение:
а) \( \sin \frac{5\pi}{4} x = x^2 — 4x + 5 \);
Разделим уравнение на две функции:
\( y = \sin \frac{5\pi}{4} x \);
\( g = x^2 — 4x + 5 \);
Наименьшее значение функции \( g(x) \):
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \);
\( g(2) = 2^2 — 4 \cdot 2 + 5 = 4 — 8 + 5 = 1 \);
Наибольшее значение функции \( y(x) \):
\( \sin \frac{5\pi}{4} x \leq 1 \);
\( y(2) = \sin \left(\frac{5\pi}{4} \cdot 2\right) = \sin \frac{5\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \);
Ответ: \( x = 2 \).
б) \( -\cos 7\pi x = x^2 — 6x + 10 \);
Разделим уравнение на две функции:
\( y = -\cos 7\pi x \);
\( g = x^2 — 6x + 10 \);
Наименьшее значение функции \( g(x) \):
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \);
\( g(3) = 3^2 — 6 \cdot 3 + 10 = 9 — 18 + 10 = 1 \);
Наибольшее значение функции \( y(x) \):
\( -\cos 7\pi x \leq 1 \);
\( y(3) = -\cos (7\pi \cdot 3) = -\cos 21\pi = -\cos \pi = 1 \);
Ответ: \( x = 3 \).
а) \( \sin \frac{5\pi}{4} x = x^2 — 4x + 5 \).
Шаг 1. Разделим уравнение на две функции:
\( y = \sin \frac{5\pi}{4} x \)
\( g = x^2 — 4x + 5 \)
Шаг 2. Найдём наименьшее значение функции \( g(x) \).
Функция \( g(x) = x^2 — 4x + 5 \) — квадратичная с коэффициентом при \( x^2 \) положительным, значит, она имеет минимум в вершине параболы.
Координата вершины по оси \( x \) находится по формуле:
\( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -4 \).
Подставим значения:
\( x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \).
Найдём значение функции в точке \( x_0 = 2 \):
\( g(2) = 2^2 — 4 \cdot 2 + 5 = 4 — 8 + 5 = 1 \).
Шаг 3. Найдём наибольшее значение функции \( y(x) = \sin \frac{5\pi}{4} x \).
Функция синуса принимает значения в диапазоне от -1 до 1, значит:
\( \sin \frac{5\pi}{4} x \leq 1 \).
Проверим значение функции \( y(x) \) в точке \( x = 2 \):
\( y(2) = \sin \left( \frac{5\pi}{4} \cdot 2 \right) = \sin \frac{5\pi}{2} \).
Поскольку синус периодичен с периодом \( 2\pi \), то:
\( \sin \frac{5\pi}{2} = \sin \left( \frac{5\pi}{2} — 2\pi \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
Таким образом, в точке \( x=2 \) обе функции равны 1, то есть уравнение выполнено.
Ответ для пункта а): \( x = 2 \).
б) \( -\cos 7\pi x = x^2 — 6x + 10 \).
Шаг 1. Разделим уравнение на две функции:
\( y = -\cos 7\pi x \)
\( g = x^2 — 6x + 10 \)
Шаг 2. Найдём наименьшее значение функции \( g(x) \).
Функция \( g(x) = x^2 — 6x + 10 \) — квадратичная с коэффициентом при \( x^2 \) положительным, значит, она имеет минимум в вершине параболы.
Координата вершины по оси \( x \) находится по формуле:
\( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -6 \).
Подставим значения:
\( x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \).
Найдём значение функции в точке \( x_0 = 3 \):
\( g(3) = 3^2 — 6 \cdot 3 + 10 = 9 — 18 + 10 = 1 \).
Шаг 3. Найдём наибольшее значение функции \( y(x) = -\cos 7\pi x \).
Функция косинуса принимает значения от -1 до 1, значит:
\( -\cos 7\pi x \leq 1 \).
Проверим значение функции \( y(x) \) в точке \( x = 3 \):
\( y(3) = -\cos (7\pi \cdot 3) = -\cos 21\pi \).
Поскольку косинус периодичен с периодом \( 2\pi \), то:
\( \cos 21\pi = \cos (21\pi — 20\pi) = \cos \pi = -1 \).
Тогда:
\( y(3) = -(-1) = 1 \).
Таким образом, в точке \( x=3 \) обе функции равны 1, уравнение выполнено.
Ответ для пункта б): \( x = 3 \).
