ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.41 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \sqrt{x^{2}-2x+2}+\log_{3}\sqrt{x^{2}-2x+10}=2 \);

б) \( (x-7)^{6}+\log_{5}\sqrt{x^{2}-14x+74}=1 \)

Решить уравнение:

а) \( \sqrt{x^{2}-2x+2}+\log_{3}\sqrt{x^{2}-2x+10}=2 \);
Пусть \( y=\sqrt{x^{2}-2x+10} \), тогда:
\( y^{2}=x^{2}-2x+10 \);
\( x^{2}-2x+2=y^{2}-8 \);
Подставим значение \( y \):
\( \sqrt{y^{2}-8}+\log_{3}y=2 \);
\( \sqrt{y^{2}-8}=2-\log_{3}y \);
Выражение имеет смысл при:
\( y>0 \);
Разделим уравнение на две функции:
\( f=\sqrt{y^{2}-8} \) — возрастает при \( y>0 \);
\( g=2-\log_{3}y \) — убывает при \( y>0 \);
Методом перебора найдем решение:
\( f(3)=\sqrt{3^{2}-8}=\sqrt{9-8}=\sqrt{1}=1 \);
\( g(3)=2-\log_{3}3=2-1=1 \);
Вернем замену:
\( \sqrt{x^{2}-2x+10}=3 \);
\( x^{2}-2x+10=9 \);
\( x^{2}-2x+1=0 \);
\( (x-1)^{2}=0 \);
\( x-1=0 \);
\( x=1 \);
Ответ: \( 1 \).

б) \( (x-7)^{6}+\log_{5}\sqrt{x^{2}-14x+74}=1 \);
\( (x^{2}-14x+49)^{3}+\log_{5}\sqrt{x^{2}-14x+74}=1 \);
Пусть \( y=\sqrt{x^{2}-14x+74} \), тогда:
\( y^{2}=x^{2}-14x+74 \);
\( x^{2}-14x+49=y^{2}-25 \);
Подставим значение \( y \):
\( (y^{2}-25)^{3}+\log_{5}y=1 \);
\( (y^{2}-25)^{3}=1-\log_{5}y \);
Выражение имеет смысл при:
\( y>0 \);
Разделим уравнение на две функции:
\( f=(y^{2}-25)^{3} \) — возрастает при \( y>0 \);
\( g=1-\log_{5}y \) — убывает при \( y>0 \);
Методом перебора найдем решение:
\( f(5)=(5^{2}-25)^{3}=(25-25)^{3}=0^{3}=0 \);
\( g(5)=1-\log_{5}5=1-1=0 \);
Вернем замену:
\( \sqrt{x^{2}-14x+74}=5 \);
\( x^{2}-14x+74=25 \);
\( x^{2}-14x+49=0 \);
\( (x-7)^{2}=0 \);
\( x-7=0 \);
\( x=7 \);
Ответ: \( 7 \).

а) \( \sqrt{x^{2}-2x+2}+\log_{3}\sqrt{x^{2}-2x+10}=2 \)

1. Пусть \( y=\sqrt{x^{2}-2x+10} \). Тогда:
\( y^{2}=x^{2}-2x+10 \).
Выразим \( x^{2}-2x+2 \) через \( y \):
\( x^{2}-2x+2=y^{2}-8 \).

2. Подставим значение \( y \) в исходное уравнение:
\( \sqrt{y^{2}-8}+\log_{3}y=2 \).

3. Перенесем \( \log_{3}y \) вправо:
\( \sqrt{y^{2}-8}=2-\log_{3}y \).

4. Уравнение имеет смысл при \( y>0 \), так как корень и логарифм определены только для положительных значений.

5. Разделим уравнение на две функции:
\( f(y)=\sqrt{y^{2}-8} \) — возрастает при \( y>0 \);
\( g(y)=2-\log_{3}y \) — убывает при \( y>0 \).
Найдем точку пересечения методом перебора.

6. Проверим значение \( y=3 \):
Для функции \( f(y) \):
\( f(3)=\sqrt{3^{2}-8}=\sqrt{9-8}=\sqrt{1}=1 \).
Для функции \( g(y) \):
\( g(3)=2-\log_{3}3=2-1=1 \).
Значения совпадают, значит \( y=3 \) — решение.

7. Вернем замену \( y=\sqrt{x^{2}-2x+10} \):
\( \sqrt{x^{2}-2x+10}=3 \).
Возведем обе части в квадрат:
\( x^{2}-2x+10=9 \).

8. Упростим уравнение:
\( x^{2}-2x+1=0 \).
Это квадратное уравнение, которое можно записать как:
\( (x-1)^{2}=0 \).

9. Решим уравнение:
\( x-1=0 \).
\( x=1 \).

Ответ: \( x=1 \).

б) \( (x-7)^{6}+\log_{5}\sqrt{x^{2}-14x+74}=1 \)

1. Преобразуем выражение \( (x-7)^{6} \):
\( (x-7)^{6}=(x^{2}-14x+49)^{3} \).
Уравнение примет вид:
\( (x^{2}-14x+49)^{3}+\log_{5}\sqrt{x^{2}-14x+74}=1 \).

2. Пусть \( y=\sqrt{x^{2}-14x+74} \). Тогда:
\( y^{2}=x^{2}-14x+74 \).
Выразим \( x^{2}-14x+49 \) через \( y \):
\( x^{2}-14x+49=y^{2}-25 \).

3. Подставим значение \( y \) в исходное уравнение:
\( (y^{2}-25)^{3}+\log_{5}y=1 \).

4. Перенесем \( \log_{5}y \) вправо:
\( (y^{2}-25)^{3}=1-\log_{5}y \).

5. Уравнение имеет смысл при \( y>0 \), так как корень и логарифм определены только для положительных значений.

6. Разделим уравнение на две функции:
\( f(y)=(y^{2}-25)^{3} \) — возрастает при \( y>0 \);
\( g(y)=1-\log_{5}y \) — убывает при \( y>0 \).
Найдем точку пересечения методом перебора.

7. Проверим значение \( y=5 \):
Для функции \( f(y) \):
\( f(5)=(5^{2}-25)^{3}=(25-25)^{3}=0^{3}=0 \).
Для функции \( g(y) \):
\( g(5)=1-\log_{5}5=1-1=0 \).
Значения совпадают, значит \( y=5 \) — решение.

8. Вернем замену \( y=\sqrt{x^{2}-14x+74} \):
\( \sqrt{x^{2}-14x+74}=5 \).
Возведем обе части в квадрат:
\( x^{2}-14x+74=25 \).

9. Упростим уравнение:
\( x^{2}-14x+49=0 \).
Это квадратное уравнение, которое можно записать как:
\( (x-7)^{2}=0 \).

10. Решим уравнение:
\( x-7=0 \).
\( x=7 \).

Ответ: \( x=7 \).