Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.42 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \log_{2}(x^{2}-4x+8)=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2} \)
б) \( \log_{3}(x^{2}+4x+13)=\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4} \)
Решить уравнение:
а) \( \log_{2}(x^{2}-4x+8)=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2} \)
Разделим уравнение на две функции:
\( y=\log_{2}(x^{2}-4x+8) \);
\( g=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2} \);
Наименьшее значение функции \( g(x) \):
\( x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2 \);
\( g(2)=\log_{2}(2^{2}-4\cdot2+8)=\log_{2}(4-8+8)=\log_{2}4=2 \);
Наибольшее значение функции \( y(x) \):
\( \sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}\leq2 \);
\( y(2)=\sin\left(\frac{5\pi\cdot2}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi\cdot2}{2}\right)=\sin\frac{5\pi}{2}-\cos\pi=1-(-1)=2 \);
Ответ: \( x=2 \).
б) \( \log_{3}(x^{2}+4x+13)=\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4} \)
Разделим уравнение на две функции:
\( y=\log_{3}(x^{2}+4x+13) \);
\( g=\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4} \);
Наименьшее значение функции \( g(x) \):
\( x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot1}=-\frac{4}{2}=-2 \);
\( g(-2)=\log_{3}((-2)^{2}-2\cdot4+13)=\log_{3}(4-8+13)=\log_{3}9=2 \);
Наибольшее значение функции \( y(x) \):
\( \cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4}\leq2 \);
\( y(-2)=\cos(-2\cdot\pi)-\sin\left(\frac{-2\cdot\pi}{4}\right)=\cos2\pi+\sin\frac{\pi}{2}=1+1=2 \);
Ответ: \( x=-2 \).
а) \( \log_{2}(x^{2}-4x+8)=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2} \)
1. Разделим уравнение на две функции:
\( y=\log_{2}(x^{2}-4x+8) \);
\( g=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2} \).
2. Найдем область определения функции \( y(x) \):
Функция \( \log_{2}(x^{2}-4x+8) \) определена, если \( x^{2}-4x+8 > 0 \).
Рассмотрим квадратное неравенство \( x^{2}-4x+8 > 0 \):
Решим уравнение \( x^{2}-4x+8=0 \):
Дискриминант \( D=(-4)^{2}-4\cdot1\cdot8=16-32=-16 \).
Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет корней, следовательно, \( x^{2}-4x+8 > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).
Таким образом, область определения функции \( y(x) \) — вся числовая ось.
3. Найдем область определения функции \( g(x) \):
Функция \( g(x)=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2} \) определена для всех \( x \in \mathbb{R} \), так как синус и косинус определены для всех значений аргумента.
4. Найдем значения функций в точке \( x=2 \):
Для функции \( y(x) \):
\( y(2)=\log_{2}(2^{2}-4\cdot2+8)=\log_{2}(4-8+8)=\log_{2}4=2 \).
Для функции \( g(x) \):
\( g(2)=\sin\left(\frac{5\pi\cdot2}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi\cdot2}{2}\right)=\sin\frac{5\pi}{2}-\cos\pi \).
\( \sin\frac{5\pi}{2}=\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1 \);
\( \cos\pi=-1 \);
\( g(2)=1-(-1)=2 \).
5. Проверим совпадение значений функций:
При \( x=2 \):
\( y(2)=g(2)=2 \).
Следовательно, \( x=2 \) является решением уравнения.
Ответ: \( x=2 \).
б) \( \log_{3}(x^{2}+4x+13)=\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4} \)
1. Разделим уравнение на две функции:
\( y=\log_{3}(x^{2}+4x+13) \);
\( g=\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4} \).
2. Найдем область определения функции \( y(x) \):
Функция \( \log_{3}(x^{2}+4x+13) \) определена, если \( x^{2}+4x+13 > 0 \).
Рассмотрим квадратное неравенство \( x^{2}+4x+13 > 0 \):
Решим уравнение \( x^{2}+4x+13=0 \):
Дискриминант \( D=4^{2}-4\cdot1\cdot13=16-52=-36 \).
Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет корней, следовательно, \( x^{2}+4x+13 > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).
Таким образом, область определения функции \( y(x) \) — вся числовая ось.
3. Найдем область определения функции \( g(x) \):
Функция \( g(x)=\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4} \) определена для всех \( x \in \mathbb{R} \), так как синус и косинус определены для всех значений аргумента.
4. Найдем значения функций в точке \( x=-2 \):
Для функции \( y(x) \):
\( y(-2)=\log_{3}((-2)^{2}+4\cdot(-2)+13)=\log_{3}(4-8+13)=\log_{3}9=2 \).
Для функции \( g(x) \):
\( g(-2)=\cos(-2\cdot\pi)-\sin\left(\frac{-2\cdot\pi}{4}\right)=\cos(-2\pi)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \).
\( \cos(-2\pi)=\cos2\pi=1 \);
\( \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\frac{\pi}{2}=-1 \);
\( g(-2)=1-(-1)=2 \).
5. Проверим совпадение значений функций:
При \( x=-2 \):
\( y(-2)=g(-2)=2 \).
Следовательно, \( x=-2 \) является решением уравнения.
Ответ: \( x=-2 \).
