Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( (x^2 — 6x)^5 = (2x — 7)^5 \)
б) \( (\sqrt{6x — 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x + 8})^9 \)
Решить уравнение:
а) \( (x^2 — 6x)^5 = (2x — 7)^5 \)
\( x^2 — 6x = 2x — 7 \)
\( x^2 — 8x + 7 = 0 \)
\( D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36 \), тогда:
\( x_1 = (8 — 6)/2 = 1 \) и \( x_2 = (8 + 6)/2 = 7 \)
Ответ: 1; 7.
б) \( (\sqrt{6x — 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x + 8})^9 \)
\( \sqrt{6x — 1} + 1 = \sqrt{6x + 8} \)
\( (6x — 1) + 2\sqrt{6x — 1} + 1 = 6x + 8 \)
\( 2\sqrt{6x — 1} = 8 \)
\( \sqrt{6x — 1} = 4 \)
\( 6x — 1 = 16 \)
\( 6x = 17 \)
\( x = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} \)
Выражение имеет смысл при:
\( 6x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1/6 \)
\( 6x + 8 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -4/3 \)
Ответ: \( 2\frac{5}{6} \)
а) \( (x^2 — 6x)^5 = (2x — 7)^5 \)
Шаг 1: обе части уравнения возведены в одну и ту же нечётную степень \(5\). Значит, можно приравнять основания:
\( x^2 — 6x = 2x — 7 \)
Шаг 2: перенесём всё в левую часть:
\( x^2 — 6x — 2x + 7 = 0 \)
\( x^2 — 8x + 7 = 0 \)
Шаг 3: найдём дискриминант квадратного уравнения:
\( D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36 \)
Шаг 4: найдём корни по формуле:
\( x_1 = (8 — \sqrt{36}) / 2 = (8 — 6) / 2 = 1 \)
\( x_2 = (8 + \sqrt{36}) / 2 = (8 + 6) / 2 = 7 \)
Ответ: \( 1; \ 7 \)
б) \( (\sqrt{6x — 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x + 8})^9 \)
Шаг 1: обе части возведены в одну и ту же нечётную степень \(9\), следовательно:
\( \sqrt{6x — 1} + 1 = \sqrt{6x + 8} \)
Шаг 2: перенесём 1 в правую часть:
\( \sqrt{6x — 1} = \sqrt{6x + 8} — 1 \)
Шаг 3: возведём обе части в квадрат:
\( (\sqrt{6x — 1})^2 = (\sqrt{6x + 8} — 1)^2 \)
\( 6x — 1 = (6x + 8) — 2\sqrt{6x + 8} + 1 \)
Приведём правую часть:
\( 6x — 1 = 6x + 9 — 2\sqrt{6x + 8} \)
Шаг 4: перенесём \(6x\) и \(9\) влево:
\( -1 — 9 = -2\sqrt{6x + 8} \Rightarrow -10 = -2\sqrt{6x + 8} \)
Поделим обе части на -2:
\( \sqrt{6x + 8} = 5 \)
Шаг 5: возведём обе части в квадрат:
\( 6x + 8 = 25 \Rightarrow 6x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{6} \)
Шаг 6: проверим, имеет ли выражение смысл (ОДЗ):
- \( \sqrt{6x — 1} \) определено при \( 6x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1/6 \)
- \( \sqrt{6x + 8} \) определено при \( 6x + 8 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4/3 \)
Найденный корень \( x = \frac{17}{6} \approx 2.833 \) удовлетворяет обеим условиям.
Ответ: \( 2\frac{5}{6} \) или \( \frac{17}{6} \)
