Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( (2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20} \)
б) \( (\log_{0{,}1}^2 x — 2)^3 = (2 \log_{0{,}1} x + 1)^3 \)
Решить уравнение:
а) \( (2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20} \)
\( 2^{2x} + 16 = 10 \cdot 2^x \)
\( 2^{2x} — 10 \cdot 2^x + 16 = 0 \)
Пусть \( y = 2^x \), тогда:
\( y^2 — 10y + 16 = 0 \)
\( D = 10^2 — 4 \cdot 16 = 100 — 64 = 36 \), тогда:
\( y_1 = (10 — 6)/2 = 2 \) и \( y_2 = (10 + 6)/2 = 8 \)
Первое значение:
\( 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 \)
Второе значение:
\( 2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3 \)
Дополнительных корней нет:
\( 2^{2x} + 16 > 0 \), \( 10 \cdot 2^x > 0 \)
Ответ: 1; 3.
б) \( (\log_{0{,}1}^2 x — 2)^3 = (2 \log_{0{,}1} x + 1)^3 \)
\( \log_{0{,}1}^2 x — 2 = 2 \log_{0{,}1} x + 1 \)
\( \log_{0{,}1}^2 x — 2 \log_{0{,}1} x — 3 = 0 \)
Пусть \( y = \log_{0{,}1} x \), тогда:
\( y^2 — 2y — 3 = 0 \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \), тогда:
\( y_1 = (2 — 4)/2 = -1 \), \( y_2 = (2 + 4)/2 = 3 \)
Первое значение:
\( \log_{0{,}1} x = -1 \Rightarrow x = 0{,}1^{-1} = 10 \)
Второе значение:
\( \log_{0{,}1} x = 3 \Rightarrow x = 0{,}1^3 = 0{,}001 \)
Ответ: 0,001; 10.
а) \( (2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20} \)
Шаг 1: Обе части уравнения возведены в одну и ту же нечётную степень \(20\), поэтому можно приравнять основания:
\( 2^{2x} + 16 = 10 \cdot 2^x \)
Шаг 2: Заметим, что \( 2^{2x} = (2^x)^2 \), обозначим \( y = 2^x \). Тогда уравнение примет вид:
\( y^2 + 16 = 10y \)
Шаг 3: Перенесём все слагаемые в одну сторону:
\( y^2 — 10y + 16 = 0 \)
Шаг 4: Найдём дискриминант:
\( D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 — 64 = 36 \)
Шаг 5: Найдём корни квадратного уравнения:
\( y_1 = (10 — \sqrt{36}) / 2 = (10 — 6)/2 = 2 \)
\( y_2 = (10 + \sqrt{36}) / 2 = (10 + 6)/2 = 8 \)
Шаг 6: Вернёмся к замене \( y = 2^x \) и найдём \( x \):
Первый корень: \( 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 \)
Второй корень: \( 2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3 \)
Шаг 7: Проверка ОДЗ (области допустимых значений):
- \( 2^{2x} + 16 > 0 \) — всегда положительно
- \( 10 \cdot 2^x > 0 \) — всегда положительно
Обе части определены для всех \( x \in \mathbb{R} \), значит, корни допустимы.
Ответ: \( 1; \ 3 \)
б) \( (\log_{0{,}1}^2 x — 2)^3 = (2 \log_{0{,}1} x + 1)^3 \)
Шаг 1: Уравнение вида \( A^3 = B^3 \), значит, можно приравнять основания (так как степень нечётная):
\( \log_{0{,}1}^2 x — 2 = 2 \log_{0{,}1} x + 1 \)
Шаг 2: Обозначим \( y = \log_{0{,}1} x \), тогда уравнение станет:
\( y^2 — 2 = 2y + 1 \)
Шаг 3: Переносим всё в одну сторону:
\( y^2 — 2y — 3 = 0 \)
Шаг 4: Найдём дискриминант:
\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
Шаг 5: Найдём корни:
\( y_1 = (2 — \sqrt{16}) / 2 = (2 — 4)/2 = -1 \)
\( y_2 = (2 + \sqrt{16}) / 2 = (2 + 4)/2 = 3 \)
Шаг 6: Подставим обратно \( y = \log_{0{,}1} x \) и найдём \( x \):
Для \( y = -1 \):
\( \log_{0{,}1} x = -1 \Rightarrow x = 0{,}1^{-1} = 10 \)
Для \( y = 3 \):
\( \log_{0{,}1} x = 3 \Rightarrow x = 0{,}1^3 = 0{,}001 \)
Шаг 7: Проверка области допустимых значений:
Функция \( \log_{0{,}1} x \) определена при \( x > 0 \). Оба найденных значения \( x = 10 \) и \( x = 0{,}001 \) положительные — допустимы.
Ответ: \( 0{,}001; \ 10 \)
