Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( 2^{x^2 + 3} — 8^{x + 1} = 0 \)
б) \( 27^{5 — x^2} — 3^{x^2 — 1} = 0 \)
Решить уравнение:
а) \( 2^{x^2 + 3} — 8^{x + 1} = 0 \)
\( 2^{x^2 + 3} = 8^{x + 1} \)
\( 2^{x^2 + 3} = 2^{3(x + 1)} \)
\( x^2 + 3 = 3(x + 1) \)
\( x^2 + 3 = 3x + 3 \)
\( x^2 — 3x = 0 \)
\( x(x — 3) = 0 \)
\( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 3 \)
Ответ: 0; 3.
б) \( 27^{5 — x^2} — 3^{x^2 — 1} = 0 \)
\( 3^{3(5 — x^2)} = 3^{x^2 — 1} \)
\( 3(5 — x^2) = x^2 — 1 \)
\( 15 — 3x^2 = x^2 — 1 \)
\( 4x^2 = 16 \)
\( x^2 = 4 \)
\( x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \)
Ответ: -2; 2.
а) \( 2^{x^2 + 3} — 8^{x + 1} = 0 \)
Шаг 1: Переносим второе слагаемое вправо:
\( 2^{x^2 + 3} = 8^{x + 1} \)
Шаг 2: Преобразуем правую часть. Так как \( 8 = 2^3 \), то:
\( 8^{x + 1} = (2^3)^{x + 1} = 2^{3(x + 1)} \)
Итак, уравнение принимает вид:
\( 2^{x^2 + 3} = 2^{3(x + 1)} \)
Шаг 3: При одинаковых основаниях показательные функции равны тогда и только тогда, когда равны их показатели:
\( x^2 + 3 = 3(x + 1) \)
Шаг 4: Раскроем скобки справа:
\( x^2 + 3 = 3x + 3 \)
Шаг 5: Переносим всё в одну сторону:
\( x^2 — 3x = 0 \)
Шаг 6: Вынесем общий множитель:
\( x(x — 3) = 0 \)
Шаг 7: Найдём корни:
\( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \)
Шаг 8: Проверим, входят ли корни в область определения:
- \( 2^{x^2 + 3} > 0 \), определено при любом \( x \)
- \( 8^{x + 1} > 0 \), также определено при любом \( x \)
Ответ: \( 0; \ 3 \)
б) \( 27^{5 — x^2} — 3^{x^2 — 1} = 0 \)
Шаг 1: Переносим второе слагаемое вправо:
\( 27^{5 — x^2} = 3^{x^2 — 1} \)
Шаг 2: Представим \( 27 \) как степень тройки:
\( 27 = 3^3 \), тогда \( 27^{5 — x^2} = (3^3)^{5 — x^2} = 3^{3(5 — x^2)} \)
Теперь уравнение:
\( 3^{3(5 — x^2)} = 3^{x^2 — 1} \)
Шаг 3: Приравниваем показатели:
\( 3(5 — x^2) = x^2 — 1 \)
Шаг 4: Раскроем скобки:
\( 15 — 3x^2 = x^2 — 1 \)
Шаг 5: Перенесём всё в одну сторону:
\( 15 + 1 = x^2 + 3x^2 \Rightarrow 16 = 4x^2 \)
Шаг 6: Разделим обе части на 4:
\( x^2 = 4 \)
Шаг 7: Найдём корни:
\( x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \)
Шаг 8: Проверим область определения:
- Обе функции \( 27^{5 — x^2} \) и \( 3^{x^2 — 1} \) определены для всех \( x \in \mathbb{R} \)
Ответ: \( -2; \ 2 \)
