Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( (\sqrt{3})^{{tg}\,x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{{tg}\,x}} \)
б) \( (\sqrt{2})^{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}} \)
Решить уравнение:
а) \( (\sqrt{3})^{{tg}\,x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{{tg}\,x}} \)
\( (\sqrt{3})^{{tg}\,x} = \frac{(\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2 {tg}\,x}} \)
\( (\sqrt{3})^{{tg}\,x} = (\sqrt{3})^{2 + 1 — 2 {tg}\,x} \)
\( {tg}\,x = 2 + 1 — 2 {tg}\,x \)
\( 3 {tg}\,x = 3 \)
\( {tg}\,x = 1 \)
\( x = {arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \)
Ответ: \( \frac{\pi}{4} + \pi n \)
б) \( (\sqrt{2})^{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}} \)
\( (\sqrt{2})^{2 \cos x} = \frac{(\sqrt{2})^0}{(\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{2})^{2 \cos x}} \)
\( 2 \cos x = 0 — 2 — 2 \cos x \)
\( 4 \cos x = -2 \)
\( \cos x = -\frac{1}{2} \)
\( x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)
Ответ: \( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)
а) \( (\sqrt{3})^{{tg}\,x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{{tg}\,x}} \)
Преобразуем правую часть. Запишем все числа через основание \( \sqrt{3} \):
\( 3 = (\sqrt{3})^2 \), поэтому:
\( \frac{3\sqrt{3}}{3^{{tg}\,x}} = \frac{(\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2 {tg}\,x}} \)
Так как \( \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^{2 + 1} = (\sqrt{3})^3 \), а в знаменателе \( (\sqrt{3})^{2 {tg}\,x} \), получаем:
\( \frac{3\sqrt{3}}{3^{{tg}\,x}} = (\sqrt{3})^{3 — 2 {tg}\,x} \)
Итак, уравнение принимает вид:
\( (\sqrt{3})^{{tg}\,x} = (\sqrt{3})^{3 — 2 {tg}\,x} \)
Основания одинаковые, приравниваем показатели:
\( {tg}\,x = 3 — 2 {tg}\,x \)
Переносим \( -2 {tg}\,x \) в левую часть:
\( {tg}\,x + 2 {tg}\,x = 3 \Rightarrow 3 {tg}\,x = 3 \)
Делим обе части на 3:
\( {tg}\,x = 1 \)
Находим общий вид решения уравнения \( {tg}\,x = 1 \):
\( x = {arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \)
Ответ: \( \frac{\pi}{4} + \pi n \)
б) \( (\sqrt{2})^{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}} \)
Преобразуем правую часть. Представим всё через основание \( \sqrt{2} \):
\( 2 = (\sqrt{2})^2 \), значит:
\( 2 \cdot 2^{\cos x} = (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{2})^{2 \cos x} = (\sqrt{2})^{2 + 2 \cos x} \)
Получаем:
\( \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}} = (\sqrt{2})^{-(2 + 2 \cos x)} \)
Тогда уравнение примет вид:
\( (\sqrt{2})^{2 \cos x} = (\sqrt{2})^{-2 — 2 \cos x} \)
Основания одинаковые, приравниваем показатели:
\( 2 \cos x = -2 — 2 \cos x \)
Переносим \( 2 \cos x \) вправо:
\( 4 \cos x = -2 \)
Делим обе части на 4:
\( \cos x = -\frac{1}{2} \)
Общий вид решения уравнения \( \cos x = -\frac{1}{2} \):
\( x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \)
\( \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} \), следовательно:
\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)
Ответ: \( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)
