Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 56.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{3} — \log_{\frac{2}{3}}\frac{8-x}{3} = 1 \)
б) \( \log_{1{,}2}(3x-1) + \log_{1{,}2}(3x+1) = \log_{1{,}2}8 \)
Решить уравнение:
а) \( \log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{3} — \log_{\frac{2}{3}}\frac{8-x}{3} = 1 \)
\( \log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{8-x} = \log_{\frac{2}{3}}\frac{2}{3} \)
\( \frac{7x+9}{8-x} = \frac{2}{3} \)
\( 3(7x+9) = 2(8-x) \)
\( 21x + 27 = 16 — 2x \)
\( 23x = -11 \)
\( x = -\frac{11}{23} \)
Выражение имеет смысл при:
\( 7x + 9 > 0 ⇒ x > -\frac{9}{7} \)
\( 8 — x > 0 ⇒ x < 8 \)
Ответ: \( -\frac{11}{23} \)
б) \( \log_{1{,}2}(3x-1) + \log_{1{,}2}(3x+1) = \log_{1{,}2}8 \)
\( \log_{1{,}2}((3x-1)(3x+1)) = \log_{1{,}2}8 \)
\( (3x-1)(3x+1) = 8 \)
\( 9x^{2} — 1 = 8 \)
\( 9x^{2} = 9 \)
\( x^{2} = 1 \)
\( x = \pm 1 \)
Выражение имеет смысл при:
\( 3x — 1 > 0 ⇒ x > \frac{1}{3} \)
\( 3x + 1 > 0 ⇒ x > -\frac{1}{3} \)
Ответ: \( 1 \)
а) \( \log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{3} — \log_{\frac{2}{3}}\frac{8-x}{3} = 1 \)
Применим свойство вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями:
\( \log_{\frac{2}{3}}\left( \frac{\frac{7x+9}{3}}{\frac{8-x}{3}} \right) = 1 \)
Сократим дробь:
\( \log_{\frac{2}{3}}\left( \frac{7x+9}{8-x} \right) = 1 \)
По определению логарифма: если \( \log_a B = C \), то \( B = a^C \), при \( a > 0, a \ne 1, B > 0 \).
Значит:
\( \frac{7x+9}{8-x} = \left( \frac{2}{3} \right)^1 = \frac{2}{3} \)
Решим полученное рациональное уравнение:
\( 3(7x + 9) = 2(8 — x) \)
\( 21x + 27 = 16 — 2x \)
Перенесём всё влево:
\( 21x + 2x + 27 — 16 = 0 \Rightarrow 23x + 11 = 0 \)
\( 23x = -11 \Rightarrow x = -\frac{11}{23} \)
Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
- \( \frac{7x + 9}{3} > 0 \Rightarrow 7x + 9 > 0 \Rightarrow x > -\frac{9}{7} \)
- \( \frac{8 — x}{3} > 0 \Rightarrow 8 — x > 0 \Rightarrow x < 8 \)
Найденное значение \( x = -\frac{11}{23} \approx -0.478 \) удовлетворяет обоим условиям:
- \( -\frac{11}{23} > -\frac{9}{7} \) (так как \( -0.478 > -1.286 \))
- \( -\frac{11}{23} < 8 \) — очевидно
Ответ: \( -\frac{11}{23} \)
б) \( \log_{1{,}2}(3x — 1) + \log_{1{,}2}(3x + 1) = \log_{1{,}2} 8 \)
Применим свойство суммы логарифмов:
\( \log_{1{,}2}\left( (3x — 1)(3x + 1) \right) = \log_{1{,}2} 8 \)
Воспользуемся формулой разности квадратов:
\( (3x — 1)(3x + 1) = 9x^2 — 1 \)
Тогда:
\( \log_{1{,}2}(9x^2 — 1) = \log_{1{,}2} 8 \)
Приравниваем аргументы логарифмов (так как основания равны и логарифмы равны):
\( 9x^2 — 1 = 8 \Rightarrow 9x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1 \)
Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
- \( 3x — 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \)
- \( 3x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \)
Обе функции определены только при \( x > \frac{1}{3} \), значит, из двух корней \( x = 1 \) и \( x = -1 \) подойдёт только:
Ответ: \( 1 \)
