Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Придумайте три неравенства, равносильные неравенству:
а) \( x^2 — 9 \leq 0 \)
б) \( \frac{1}{x} < \frac{1}{3} \)
Придумать три неравенства, равносильные данному неравенству:
а) \( x^2 — 9 \leq 0 \)
Решения неравенства:
\( (x + 3)(x — 3) \leq 0 \);
\( -3 \leq x \leq 3 \).
Равносильные неравенства:
\( |x| \leq 3 \);
\( x^4 \leq 81 \);
\( (x + 3)(x — 3) \leq 0 \).
б) \( \frac{1}{x} < \frac{1}{3} \)
Решения неравенства:
\( x > 3 \).
Равносильные неравенства:
\( x — 3 > 0 \);
\( \ln(x — 2) > 0 \);
\( x^3 > 27 \).
Придумать три неравенства, равносильные данному неравенству:
а) \( x^2 — 9 \leq 0 \)
1. Решим данное неравенство:
Разложим левую часть на множители:
\( x^2 — 9 = (x + 3)(x — 3) \).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\( (x + 3)(x — 3) \leq 0 \).
2. Найдем корни выражения \( (x + 3)(x — 3) = 0 \):
\( x + 3 = 0 \) или \( x — 3 = 0 \);
\( x = -3 \) или \( x = 3 \).
3. Определим знаки выражения \( (x + 3)(x — 3) \) на промежутках:
Рассмотрим три промежутка: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 3) \), \( (3, +\infty) \).
На промежутке \( (-\infty, -3) \):
При \( x < -3 \), оба множителя \( (x + 3) \) и \( (x — 3) \) отрицательны, их произведение положительно.
На промежутке \( (-3, 3) \):
При \( -3 < x < 3 \), множитель \( (x + 3) > 0 \), а \( (x — 3) < 0 \), их произведение отрицательно.
На промежутке \( (3, +\infty) \):
При \( x > 3 \), оба множителя \( (x + 3) \) и \( (x — 3) \) положительны, их произведение положительно.
4. Учитывая знак выражения, получаем решение неравенства:
\( -3 \leq x \leq 3 \).
5. Придумаем три равносильных неравенства:
\( |x| \leq 3 \);
\( x^4 \leq 81 \);
\( (x + 3)(x — 3) \leq 0 \).
б) \( \frac{1}{x} < \frac{1}{3} \)
1. Решим данное неравенство:
Перепишем его в виде:
\( \frac{1}{x} — \frac{1}{3} < 0 \).
Приведем левую часть к общему знаменателю:
\( \frac{3 — x}{3x} < 0 \).
2. Найдем значения, при которых выражение \( \frac{3 — x}{3x} = 0 \):
Числитель \( 3 — x = 0 \), отсюда \( x = 3 \).
Знаменатель \( 3x \neq 0 \), отсюда \( x \neq 0 \).
3. Определим знаки выражения \( \frac{3 — x}{3x} \) на промежутках:
Рассмотрим три промежутка: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 3) \), \( (3, +\infty) \).
На промежутке \( (-\infty, 0) \):
При \( x < 0 \), числитель \( (3 — x) > 0 \), знаменатель \( 3x < 0 \), дробь отрицательна.
На промежутке \( (0, 3) \):
При \( 0 < x < 3 \), числитель \( (3 — x) > 0 \), знаменатель \( 3x > 0 \), дробь положительна.
На промежутке \( (3, +\infty) \):
При \( x > 3 \), числитель \( (3 — x) < 0 \), знаменатель \( 3x > 0 \), дробь отрицательна.
4. Учитывая знак выражения, получаем решение неравенства:
\( x > 3 \).
5. Придумаем три равносильных неравенства:
\( x — 3 > 0 \);
\( \ln(x — 2) > 0 \);
\( x^3 > 27 \).
