Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Решите неравенства, применяя теоремы о равносильности:
а) \(\log_{14}(x — 1) \leq \log_{14}(2x + 3)\)
б) \(\log_{0,3}(2x + 1) < \log_{0,3}(x — 3)\)
Решить неравенства, применяя теоремы о равносильности:
а) \(\log_{14}(x — 1) \leq \log_{14}(2x + 3)\)
\(\begin{cases} x — 1 \leq 2x + 3 \\ x — 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}\)
Первое неравенство:
\(x — 1 \leq 2x + 3\)
Переносим \(x\) в одну часть, а свободные члены в другую:
\(-x \leq 3 + 1\)
\(-x \leq 4\)
Домножаем обе части на \(-1\), меняя знак неравенства:
\(x \geq -4\)
Второе неравенство:
\(x — 1 > 0\)
Переносим свободный член в правую часть:
\(x > 1\)
Третье неравенство:
\(2x + 3 > 0\)
Переносим свободный член в правую часть:
\(2x > -3\)
Делим обе части на \(2\):
\(x > -\frac{3}{2}\)
Ответ: \(x \in (1; +\infty)\)
б) \(\log_{0,3}(2x + 1) < \log_{0,3}(x — 3)\)
\(\begin{cases} 2x + 1 > x — 3 \\ 2x + 1 > 0 \\ x — 3 > 0 \end{cases}\)
Первое неравенство:
\(2x + 1 > x — 3\)
Переносим \(x\) в одну часть, а свободные члены в другую:
\(2x — x > -3 — 1\)
\(x > -4\)
Второе неравенство:
\(2x + 1 > 0\)
Переносим свободный член в правую часть:
\(2x > -1\)
Делим обе части на \(2\):
\(x > -\frac{1}{2}\)
Третье неравенство:
\(x — 3 > 0\)
Переносим свободный член в правую часть:
\(x > 3\)
Ответ: \(x \in (3; +\infty)\)
а) \(\log_{14}(x — 1) \leq \log_{14}(2x + 3)\)
Так как логарифмическая функция при основании \(14 > 1\) является возрастающей, то данное неравенство равносильно системе:
\(\begin{cases} x — 1 \leq 2x + 3 \\ x — 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}\)
Первое неравенство:
\(x — 1 \leq 2x + 3\)
Переносим \(x\) в одну часть, а свободные члены в другую:
\(x — 2x \leq 3 + 1\)
\(-x \leq 4\)
Умножаем обе части на \(-1\), меняя знак неравенства:
\(x \geq -4\)
Второе неравенство:
\(x — 1 > 0\)
Переносим \(1\) в правую часть:
\(x > 1\)
Третье неравенство:
\(2x + 3 > 0\)
Переносим \(3\) в правую часть:
\(2x > -3\)
Делим обе части на \(2\):
\(x > -\frac{3}{2}\)
Объединяем решения всех трех неравенств:
\(x \geq -4\), \(x > 1\), \(x > -\frac{3}{2}\).
Наибольшим ограничением является \(x > 1\), так как оно включает все остальные условия.
Ответ: \(x \in (1; +\infty)\)
б) \(\log_{0,3}(2x + 1) < \log_{0,3}(x — 3)\)
Так как логарифмическая функция при основании \(0,3 < 1\) является убывающей, то данное неравенство равносильно системе:
\(\begin{cases} 2x + 1 > x — 3 \\ 2x + 1 > 0 \\ x — 3 > 0 \end{cases}\)
Первое неравенство:
\(2x + 1 > x — 3\)
Переносим \(x\) в одну часть, а свободные члены в другую:
\(2x — x > -3 — 1\)
\(x > -4\)
Второе неравенство:
\(2x + 1 > 0\)
Переносим \(1\) в правую часть:
\(2x > -1\)
Делим обе части на \(2\):
\(x > -\frac{1}{2}\)
Третье неравенство:
\(x — 3 > 0\)
Переносим \(3\) в правую часть:
\(x > 3\)
Объединяем решения всех трех неравенств:
\(x > -4\), \(x > -\frac{1}{2}\), \(x > 3\).
Наибольшим ограничением является \(x > 3\), так как оно включает все остальные условия.
Ответ: \(x \in (3; +\infty)\)
