Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \(\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^{2}-5x)\geq\log_{\frac{1}{\pi}}(2x-3)\)
б) \(\lg(5x^{2}-15x)\leq\lg(2x-6)\)
Решить неравенства, применяя теоремы о равносильности:
а) \(\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^{2}-5x)\geq\log_{\frac{1}{\pi}}(2x-3)\)
\(\begin{cases} 2x^{2}-5x\leq2x-3 \\ 2x^{2}-5x>0 \\ 2x-3>0 \end{cases}\)
Первое неравенство:
\(2x^{2}-5x\leq2x-3\)
\(2x^{2}-7x+3\leq0\)
\(D=7^{2}-4\cdot2\cdot3=49-24=25\)
\(x_{1}=\frac{7-5}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=0,5\)
\(x_{2}=\frac{7+5}{2\cdot2}=\frac{12}{4}=3\)
\((x-0,5)(x-3)\leq0\)
\(0,5\leq x\leq3\)
Второе неравенство:
\(2x^{2}-5x>0\)
\(x(2x-5)>0\)
\(x<0\) или \(x>2,5\)
Третье неравенство:
\(2x-3>0\)
\(2x>3\)
\(x>1,5\)
Из \(0,5\leq x\leq3\), \(x<0\) или \(x>2,5\), \(x>1,5\) следует, что:
\(x\in(2,5;3]\)
Ответ: \(x\in(2,5;3]\)
б) \(\lg(5x^{2}-15x)\leq\lg(2x-6)\)
\(\begin{cases} 5x^{2}-15x\leq2x-6 \\ 5x^{2}-15x>0 \\ 2x-6>0 \end{cases}\)
Первое неравенство:
\(5x^{2}-15x\leq2x-6\)
\(5x^{2}-17x+6\leq0\)
\(D=17^{2}-4\cdot5\cdot6=289-120=169\)
\(x_{1}=\frac{17-13}{2\cdot5}=\frac{4}{10}=0,4\)
\(x_{2}=\frac{17+13}{2\cdot5}=\frac{30}{10}=3\)
\((x-0,4)(x-3)\leq0\)
\(0,4\leq x\leq3\)
Второе неравенство:
\(5x^{2}-15x>0\)
\(x(x-3)>0\)
\(x<0\) или \(x>3\)
Третье неравенство:
\(2x-6>0\)
\(2x>6\)
\(x>3\)
Объединяем решения всех трех неравенств:
Из \(0,4\leq x\leq3\), \(x<0\) или \(x>3\), \(x>3\) следует, что:
\(x\inø\)
Ответ: \(x\inø\)
а) Решить неравенство \( \log_{\frac{1}{\pi}}(2x^{2}-5x) \geq \log_{\frac{1}{\pi}}(2x-3) \)
Поскольку основание логарифма \( \frac{1}{\pi} < 1 \), логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, данное неравенство равносильно системе:
\( \begin{cases} 2x^{2}-5x \leq 2x-3 \\ 2x^{2}-5x > 0 \\ 2x-3 > 0 \end{cases} \)
Решение первого неравенства:
Запишем первое неравенство:
\( 2x^{2}-5x \leq 2x-3 \)
Перенесем все члены в левую часть:
\( 2x^{2}-7x+3 \leq 0 \)
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
\( D = (-7)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25 \)
Корни уравнения находятся по формуле:
\( x_{1} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5 \)
\( x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \)
Разложим квадратный трехчлен на множители:
\( (x — 0,5)(x — 3) \leq 0 \)
Решение данного неравенства на числовой оси:
\( x \in [0,5; 3] \)
Решение второго неравенства:
Запишем второе неравенство:
\( 2x^{2}-5x > 0 \)
Вынесем \( x \) за скобки:
\( x(2x-5) > 0 \)
Рассмотрим произведение двух множителей:
\( x > 0 \) и \( 2x-5 > 0 \), или \( x < 0 \) и \( 2x-5 < 0 \)
Решение:
\( x > 2,5 \) или \( x < 0 \)
Решение третьего неравенства:
Запишем третье неравенство:
\( 2x-3 > 0 \)
Перенесем \( 3 \) в правую часть:
\( 2x > 3 \)
Делим обе части на \( 2 \):
\( x > 1,5 \)
Объединение решений:
Рассмотрим пересечение решений всех трех неравенств:
Из первого неравенства: \( x \in [0,5; 3] \)
Из второго неравенства: \( x > 2,5 \) или \( x < 0 \)
Из третьего неравенства: \( x > 1,5 \)
Пересечение всех решений дает:
\( x \in (2,5; 3] \)
Ответ: \( x \in (2,5; 3] \)
б) Решить неравенство \( \lg(5x^{2}-15x) \leq \lg(2x-6) \)
Поскольку основание логарифма \( 10 > 1 \), логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, данное неравенство равносильно системе:
\( \begin{cases} 5x^{2}-15x \leq 2x-6 \\ 5x^{2}-15x > 0 \\ 2x-6 > 0 \end{cases} \)
Решение первого неравенства:
Запишем первое неравенство:
\( 5x^{2}-15x \leq 2x-6 \)
Перенесем все члены в левую часть:
\( 5x^{2}-17x+6 \leq 0 \)
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
\( D = (-17)^{2} — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 289 — 120 = 169 \)
Корни уравнения находятся по формуле:
\( x_{1} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 — 13}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0,4 \)
\( x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3 \)
Разложим квадратный трехчлен на множители:
\( (x — 0,4)(x — 3) \leq 0 \)
Решение данного неравенства на числовой оси:
\( x \in [0,4; 3] \)
Решение второго неравенства:
Запишем второе неравенство:
\( 5x^{2}-15x > 0 \)
Вынесем \( x \) за скобки:
\( x(x-3) > 0 \)
Рассмотрим произведение двух множителей:
\( x > 0 \) и \( x-3 > 0 \), или \( x < 0 \) и \( x-3 < 0 \)
Решение:
\( x > 3 \) или \( x < 0 \)
Решение третьего неравенства:
Запишем третье неравенство:
\( 2x-6 > 0 \)
Перенесем \( 6 \) в правую часть:
\( 2x > 6 \)
Делим обе части на \( 2 \):
\( x > 3 \)
Объединение решений:
Рассмотрим пересечение решений всех трех неравенств:
Из первого неравенства: \( x \in [0,4; 3] \)
Из второго неравенства: \( x > 3 \) или \( x < 0 \)
Из третьего неравенства: \( x > 3 \)
Пересечение всех решений дает:
\( x \in ø \)
Ответ: \( x \in ø \)
