ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( 2^{\sqrt{x+4}} \geq \frac{1}{2} \sqrt{128} \);

б) \( 0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 1 \)

Решить неравенства, применяя теоремы о равносильности:

а) \( 2^{\sqrt{x+4}} \geq \frac{1}{2} \sqrt{128} \);

\( 2^{\sqrt{x+4}} \geq 2^{-1} \cdot 2^{\frac{7}{2}} \);

\( 2^{\sqrt{x+4}} \geq 2^{\frac{5}{2}} \);

\( \sqrt{x+4} \geq \frac{5}{2} \);

\( x + 4 \geq \frac{25}{4} \);

\( x + 4 \geq 6,25 \);

\( x \geq 2,25 \);

Ответ: \( x \in [2,25; +\infty) \).

б) \( 0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 1 \);

\( 0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 0,5^{0} \);

\( \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \geq 0 \);

\( \sin x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2} \);

\( {arcsin}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n \leq x \leq \pi — {arcsin}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n \);

\( -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \);

Ответ: \( x \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\right] \).

а) Решить неравенство \( 2^{\sqrt{x+4}} \geq \frac{1}{2} \sqrt{128} \)

Рассмотрим данное неравенство:

\( 2^{\sqrt{x+4}} \geq \frac{1}{2} \sqrt{128} \).

Разложим \( \sqrt{128} \) как \( \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot \sqrt{2} \):

\( 2^{\sqrt{x+4}} \geq \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{2} \).

Упростим правую часть, представив \( \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \):

\( 2^{\sqrt{x+4}} \geq 4 \cdot \sqrt{2} \).

Заметим, что \( 4 = 2^{2} \), а \( \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \), поэтому \( 4 \cdot \sqrt{2} = 2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} \):

\( 2^{\sqrt{x+4}} \geq 2^{\frac{5}{2}} \).

Так как основания степеней одинаковы (\( 2 > 0 \)), сравним их показатели:

\( \sqrt{x+4} \geq \frac{5}{2} \).

Возведем обе части неравенства в квадрат, так как квадратная функция возрастает на множестве \( [0; +\infty) \):

\( x+4 \geq \left(\frac{5}{2}\right)^{2} \).

Вычислим квадрат \( \frac{5}{2} \):

\( \left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4} \).

Подставим значение в неравенство:

\( x+4 \geq \frac{25}{4} \).

Вычтем \( 4 \) из обеих частей неравенства, представив \( 4 = \frac{16}{4} \):

\( x \geq \frac{25}{4} — \frac{16}{4} \).

Вычислим разность дробей:

\( \frac{25}{4} — \frac{16}{4} = \frac{9}{4} \).

Следовательно:

\( x \geq \frac{9}{4} \).

Представим результат в десятичной форме для удобства:

\( \frac{9}{4} = 2,25 \).

Итак, окончательное решение:

\( x \geq 2,25 \).

Ответ: \( x \in [2,25; +\infty) \).

б) Решить неравенство \( 0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 1 \)

Рассмотрим данное неравенство:

\( 0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 1 \).

Заметим, что \( 1 = 0,5^{0} \):

\( 0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 0,5^{0} \).

Так как основание степени \( 0,5 \) меньше единицы (\( 0,5 < 1 \)), меняем знак неравенства, сравнивая показатели степени:

\( \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \geq 0 \).

Вычтем \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) из обеих частей неравенства:

\( \sin x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Решим тригонометрическое неравенство \( \sin x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2} \):

Значение \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) достигается при \( x = {arcsin}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).

Из тригонометрии известно, что:

\( {arcsin}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} \).

Рассмотрим общий вид решения для \( \sin x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2} \):

\( -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \pi — {arcsin}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Подставим значение \( {arcsin}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} \):

\( -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \pi — \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n \).

Упростим выражение для правой границы:

\( \pi — \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \).

Следовательно:

\( -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\right] \).