Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \((x^2 — 6x)^5 \geq (2x — 7)^5\);
б) \((x^2 — 2x)^9 \leq (2x — x^2 — 2)^9\)
Решить неравенства, применяя теоремы о равносильности:
а) \((x^2 — 6x)^5 \geq (2x — 7)^5\);
\(x^2 — 6x \geq 2x — 7\);
\(x^2 — 8x + 7 \geq 0\);
\(D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36\), тогда:
\(x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7\);
\((x — 1)(x — 7) \geq 0\);
\(x \leq 1\) или \(x \geq 7\);
Ответ: \(x \in (-\infty; 1] \cup [7; +\infty)\).
б) \((x^2 — 2x)^9 \leq (2x — x^2 — 2)^9\);
\(x^2 — 2x \leq 2x — x^2 — 2\);
\(2x^2 — 4x + 2 \leq 0\);
\(x^2 — 2x + 1 \leq 0\);
\((x — 1)^2 \leq 0\);
\(x — 1 = 0\);
\(x = 1\);
Ответ: \(x \in \{1\}\).
а) \((x^2 — 6x)^5 \geq (2x — 7)^5\)
1. Поскольку обе части неравенства возводятся в нечетную степень, знак неравенства сохраняется. Следовательно, можно записать:
\(x^2 — 6x \geq 2x — 7\).
2. Переносим все члены в одну часть неравенства:
\(x^2 — 6x — 2x + 7 \geq 0\).
3. Приводим подобные:
\(x^2 — 8x + 7 \geq 0\).
4. Решаем квадратное неравенство. Найдем дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36\).
5. Вычисляем корни квадратного уравнения:
\(x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 6}{2} = 1\),
\(x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7\).
6. Разложим квадратный трехчлен на множители:
\(x^2 — 8x + 7 = (x — 1)(x — 7).\)
7. Исследуем знак произведения \((x — 1)(x — 7)\):
Произведение будет неотрицательным, если оба множителя имеют одинаковый знак:
а) \((x — 1) \geq 0\) и \((x — 7) \geq 0\), то есть \(x \geq 7\);
б) \((x — 1) \leq 0\) и \((x — 7) \leq 0\), то есть \(x \leq 1\).
8. Объединяем решения:
\(x \leq 1\) или \(x \geq 7\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 1] \cup [7; +\infty)\).
б) \((x^2 — 2x)^9 \leq (2x — x^2 — 2)^9\)
1. Поскольку обе части неравенства возводятся в нечетную степень, знак неравенства сохраняется. Следовательно, можно записать:
\(x^2 — 2x \leq 2x — x^2 — 2\).
2. Переносим все члены в одну часть неравенства:
\(x^2 — 2x — 2x + x^2 + 2 \leq 0\).
3. Приводим подобные:
\(2x^2 — 4x + 2 \leq 0\).
4. Вынесем \(2\) за скобки:
\(2(x^2 — 2x + 1) \leq 0.\)
5. Упростим выражение в скобках:
\(x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2.\)
6. Подставляем обратно:
\(2(x — 1)^2 \leq 0.\)
7. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, \((x — 1)^2 \geq 0\). Чтобы выполнялось неравенство \((x — 1)^2 \leq 0\), должно быть:
\((x — 1)^2 = 0.\)
8. Решаем уравнение:
\(x — 1 = 0,\)
\(x = 1.\)
Ответ: \(x \in \{1\}\).
