Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \((2^{x+1} + 1)^6 \geq (2^x + 17)^6\)
б) \((2 \cdot 0{,}1^x + 3)^{10} \geq (0{,}1^x + 103)^{10}\)
а) \((2^{x+1} + 1)^6 \geq (2^x + 17)^6\)
Основания степеней положительны:
\(2^{x+1} + 1 > 1\);
\(2^x + 17 > 17\).
Возведем обе части неравенства в шестую степень:
\(2^{x+1} + 1 \geq 2^x + 17\);
Приводим подобные:
\(2 \cdot 2^x — 2^x \geq 17 — 1\);
\(2^x \geq 16\);
\(2^x \geq 2^4\);
\(x \geq 4\).
Ответ: \(x \in [4; +\infty)\).
б) \((2 \cdot 0{,}1^x + 3)^{10} \geq (0{,}1^x + 103)^{10}\)
Основания степеней положительны:
\(2 \cdot 0{,}1^x + 3 > 3\);
\(0{,}1^x + 103 > 103\).
Возведем обе части неравенства в десятую степень:
\(2 \cdot 0{,}1^x + 3 \geq 0{,}1^x + 103\);
Приводим подобные:
\(2 \cdot 0{,}1^x — 0{,}1^x \geq 103 — 3\);
\(0{,}1^x \geq 100\);
\(10^{-x} \geq 10^2\);
\(-x \geq 2\);
\(x \leq -2\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -2]\).
а) \((2^{x+1} + 1)^6 \geq (2^x + 17)^6\)
1. Основания степеней положительны:
\(2^{x+1} + 1 > 1\);
\(2^x + 17 > 17\).
2. Поскольку обе части неравенства возводятся в шестую степень, которая является четной, знак неравенства сохраняется. Следовательно, можно записать:
\(2^{x+1} + 1 \geq 2^x + 17\).
3. Раскрываем \(2^{x+1}\) через свойство степени: \(2^{x+1} = 2 \cdot 2^x\). Подставляем в неравенство:
\(2 \cdot 2^x + 1 \geq 2^x + 17\).
4. Переносим все члены в одну часть неравенства:
\(2 \cdot 2^x — 2^x + 1 — 17 \geq 0\).
5. Приводим подобные:
\(2^x — 16 \geq 0\).
6. Разделяем на \(2^x\):
\(2^x \geq 16\).
7. Представляем \(16\) как степень двойки: \(16 = 2^4\). Тогда:
\(2^x \geq 2^4\).
8. При равных основаниях сравниваем показатели степеней:
\(x \geq 4\).
Ответ: \(x \in [4; +\infty)\).
б) \((2 \cdot 0{,}1^x + 3)^{10} \geq (0{,}1^x + 103)^{10}\)
1. Основания степеней положительны:
\(2 \cdot 0{,}1^x + 3 > 3\);
\(0{,}1^x + 103 > 103\).
2. Поскольку обе части неравенства возводятся в десятую степень, которая является четной, знак неравенства сохраняется. Следовательно, можно записать:
\(2 \cdot 0{,}1^x + 3 \geq 0{,}1^x + 103\).
3. Переносим все члены в одну часть неравенства:
\(2 \cdot 0{,}1^x — 0{,}1^x + 3 — 103 \geq 0\).
4. Приводим подобные:
\(0{,}1^x — 100 \geq 0\).
5. Переписываем \(0{,}1^x\) через степень десяти: \(0{,}1^x = 10^{-x}\). Тогда:
\(10^{-x} \geq 100\).
6. Представляем \(100\) как степень десяти: \(100 = 10^2\). Тогда:
\(10^{-x} \geq 10^2\).
7. При равных основаниях сравниваем показатели степеней:
\(-x \geq 2\).
8. Умножаем обе части на \(-1\) и меняем знак неравенства:
\(x \leq -2\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -2]\).
