Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \((3 — 3 \log_{0,2} x)^{13} < (\log_{0,2} x + 7)^{13}\)
б) \((3 \log_7 x — 24)^5 > (2 \log_7 x — 22)^5\)
Решить неравенства, применяя теоремы о равносильности:
а) \((3 — 3 \log_{0,2} x)^{13} < (\log_{0,2} x + 7)^{13}\)
\(3 — 3 \log_{0,2} x < \log_{0,2} x + 7\);
\(4 \log_{0,2} x > -4\);
\(\log_{0,2} x > -1\);
\(\log_{0,2} x > \log_{0,2} 0,2^{-1}\);
\(x < 0,2^{-1}\);
\(x < \frac{10}{2}\);
\(x < 5\);
Выражение имеет смысл при:
\(x > 0\);
Ответ: \(x \in (0; 5)\).
б) \((3 \log_7 x — 24)^5 > (2 \log_7 x — 22)^5\)
\(3 \log_7 x — 24 > 2 \log_7 x — 22\);
\(\log_7 x > 2\);
\(\log_7 x > \log_7 7^2\);
\(x > 7^2\);
\(x > 49\);
Выражение имеет смысл при:
\(x > 0\);
Ответ: \(x \in (49; +\infty)\).
а) \((3 — 3 \log_{0,2} x)^{13} < (\log_{0,2} x + 7)^{13}\)
1. Основания степеней положительны:
\(3 — 3 \log_{0,2} x > 0\);
\(\log_{0,2} x + 7 > 0\).
2. Поскольку обе части неравенства возводятся в тринадцатую степень, которая является нечетной, знак неравенства сохраняется. Следовательно, можно записать:
\(3 — 3 \log_{0,2} x < \log_{0,2} x + 7\).
3. Переносим все члены в одну часть неравенства:
\(3 — 3 \log_{0,2} x — \log_{0,2} x — 7 < 0\).
4. Приводим подобные:
\(-4 \log_{0,2} x < -4\).
5. Делим обе части на \(-4\), меняя знак неравенства:
\(\log_{0,2} x > -1\).
6. Представляем \(-1\) как логарифм: \(-1 = \log_{0,2} 0,2^{-1}\). Тогда:
\(\log_{0,2} x > \log_{0,2} 0,2^{-1}\).
7. При равных основаниях сравниваем аргументы логарифмов:
\(x < 0,2^{-1}\).
8. Выражаем \(0,2^{-1}\) через дробь: \(0,2^{-1} = \frac{10}{2}\). Тогда:
\(x < \frac{10}{2}\).
9. Упрощаем дробь:
\(x < 5\).
10. Учитываем область допустимых значений: выражение имеет смысл при \(x > 0\). Учитываем это ограничение:
Ответ: \(x \in (0; 5)\).
б) \((3 \log_7 x — 24)^5 > (2 \log_7 x — 22)^5\)
1. Основания степеней положительны:
\(3 \log_7 x — 24 > 0\);
\(2 \log_7 x — 22 > 0\).
2. Поскольку обе части неравенства возводятся в пятую степень, которая является нечетной, знак неравенства сохраняется. Следовательно, можно записать:
\(3 \log_7 x — 24 > 2 \log_7 x — 22\).
3. Переносим все члены в одну часть неравенства:
\(3 \log_7 x — 24 — 2 \log_7 x + 22 > 0\).
4. Приводим подобные:
\(\log_7 x > 2\).
5. Представляем \(2\) как логарифм: \(2 = \log_7 7^2\). Тогда:
\(\log_7 x > \log_7 7^2\).
6. При равных основаниях сравниваем аргументы логарифмов:
\(x > 7^2\).
7. Выражаем \(7^2\) как число: \(7^2 = 49\). Тогда:
\(x > 49\).
8. Учитываем область допустимых значений: выражение имеет смысл при \(x > 0\). Учитываем это ограничение:
Ответ: \(x \in (49; +\infty)\).
