Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Решите неравенство методом введения новой переменной:
а) \(3^{2x} — 2 \cdot 3^x — 3 \geq 0\);
б) \(2 \cdot 5^{2x} — 5^x — 1 \leq 0\)
Решить неравенство методом введения новой переменной:
а) \(3^{2x} — 2 \cdot 3^x — 3 \geq 0\);
Пусть \(y = 3^x\), тогда:
\(y^2 — 2y — 3 \geq 0\);
\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\), тогда:
\(y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1\) и \(y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\);
\((y + 1)(y — 3) \geq 0\);
\(y \leq -1\) или \(y \geq 3\);
Первое значение:
\(3^x \leq -1\);
\(x \in ø\);
Второе значение:
\(3^x \geq 3\);
\(x \geq 1\);
Ответ: \(x \in [1; +\infty)\).
б) \(2 \cdot 5^{2x} — 5^x — 1 \leq 0\);
Пусть \(y = 5^x\), тогда:
\(2y^2 — y — 1 \leq 0\);
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда:
\(y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0,5\);
\(y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\);
\((y + 0,5)(y — 1) \leq 0\);
\(-0,5 \leq y \leq 1\);
Первое значение:
\(5^x \geq -0,5\);
\(x \in R\);
Второе значение:
\(5^x \leq 1\);
\(5^x \leq 5^0\);
\(x \leq 0\);
Ответ: \(x \in (-\infty; 0]\).
а) \(3^{2x} — 2 \cdot 3^x — 3 \geq 0\)
Шаг 1. Введем новую переменную \(y = 3^x\). Тогда \(3^{2x} = (3^x)^2 = y^2\). Подставим это в неравенство:
\(y^2 — 2y — 3 \geq 0\)
Шаг 2. Решим квадратное неравенство. Найдем дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3)\)
\(D = 4 + 12 = 16\)
Шаг 3. Найдем корни квадратного уравнения:
\(y_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1\)
\(y_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3\)
Шаг 4. Разложим квадратный многочлен на множители:
\(y^2 — 2y — 3 = (y + 1)(y — 3)\)
Неравенство принимает вид:
\((y + 1)(y — 3) \geq 0\)
Шаг 5. Найдем промежутки, где произведение неотрицательно. Решаем методом интервалов:
Корни \(y_1 = -1\) и \(y_2 = 3\) делят числовую ось на три промежутка: \((-\infty; -1)\), \((-1; 3)\), \((3; +\infty)\).
Проверяем знак произведения на каждом из промежутков:
На промежутке \((-\infty; -1)\): обе скобки отрицательны, их произведение положительно.
На промежутке \((-1; 3)\): одна скобка отрицательна, другая положительна, их произведение отрицательно.
На промежутке \((3; +\infty)\): обе скобки положительны, их произведение положительно.
Таким образом, решение неравенства:
\(y \leq -1\) или \(y \geq 3\)
Шаг 6. Вернемся к исходной переменной \(y = 3^x\):
Первое значение: \(3^x \leq -1\). Это невозможно, так как \(3^x > 0\) при любом \(x \in R\). Следовательно, здесь решений нет.
Второе значение: \(3^x \geq 3\). Перепишем это как \(3^x \geq 3^1\). Поскольку функция \(3^x\) возрастает, получаем:
\(x \geq 1\)
Ответ: \(x \in [1; +\infty)\).
б) \(2 \cdot 5^{2x} — 5^x — 1 \leq 0\)
Шаг 1. Введем новую переменную \(y = 5^x\). Тогда \(5^{2x} = (5^x)^2 = y^2\). Подставим это в неравенство:
\(2y^2 — y — 1 \leq 0\)
Шаг 2. Решим квадратное неравенство. Найдем дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1)\)
\(D = 1 + 8 = 9\)
Шаг 3. Найдем корни квадратного уравнения:
\(y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5\)
\(y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1\)
Шаг 4. Разложим квадратный многочлен на множители:
\(2y^2 — y — 1 = 2(y + 0,5)(y — 1)\)
Неравенство принимает вид:
\(2(y + 0,5)(y — 1) \leq 0\)
Шаг 5. Найдем промежутки, где произведение неположительно. Решаем методом интервалов:
Корни \(y_1 = -0,5\) и \(y_2 = 1\) делят числовую ось на три промежутка: \((-\infty; -0,5)\), \((-0,5; 1)\), \((1; +\infty)\).
Проверяем знак произведения на каждом из промежутков:
На промежутке \((-\infty; -0,5)\): одна скобка отрицательна, другая отрицательна, их произведение положительно.
На промежутке \((-0,5; 1)\): одна скобка отрицательна, другая положительна, их произведение отрицательно.
На промежутке \((1; +\infty)\): обе скобки положительны, их произведение положительно.
Таким образом, решение неравенства:
\(-0,5 \leq y \leq 1\)
Шаг 6. Вернемся к исходной переменной \(y = 5^x\):
Первое значение: \(5^x \geq -0,5\). Это всегда выполняется, так как \(5^x > 0\) при любом \(x \in R\).
Второе значение: \(5^x \leq 1\). Перепишем это как \(5^x \leq 5^0\). Поскольку функция \(5^x\) возрастает, получаем:
\(x \leq 0\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 0]\).
