Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \(3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \leq 10,5\)
б) \(2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \geq 2,8\)
Решить неравенство методом введения новой переменной:
а) \(3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \leq 10,5\)
\(3 \cdot 3^x \cdot 2 \cdot 2^{-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \leq 10,5\)
Пусть \(y = 3^x \cdot 2^{-x}\), тогда:
\(6y + y \leq 10,5\)
\(7y \leq 10,5\)
\(14y \leq 21\)
\(y \leq \frac{3}{2}\)
Вернем замену:
\(3^x \cdot 2^{-x} \leq \frac{3}{2}\)
\(\left(\frac{3}{2}\right)^x \leq \frac{3}{2}\)
\(x \leq 1\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1]\).
б) \(2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \geq 2,8\)
\(2^x \cdot 5 \cdot 5^{-x} + 2 \cdot 2^x \cdot 5^{-x} \geq 2,8\)
Пусть \(y = 2^x \cdot 5^{-x}\), тогда:
\(5y + 2y \geq 2,8\)
\(7y \geq 2,8\)
\(35y \geq 14\)
\(y \geq \frac{2}{5}\)
Вернем замену:
\(2^x \cdot 5^{-x} \geq \frac{2}{5}\)
\(\left(\frac{2}{5}\right)^x \geq \frac{2}{5}\)
\(x \leq 1\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1]\).
а) \(3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \leq 10,5\)
Шаг 1. Упростим выражение:
\(3^{1+x} \cdot 2^{1-x} = 3 \cdot 3^x \cdot 2 \cdot 2^{-x} = 6 \cdot 3^x \cdot 2^{-x}\)
\(3^x \cdot 2^{-x} = 3^x \cdot 2^{-x}\)
Подставим упрощенные выражения в неравенство:
\(6 \cdot 3^x \cdot 2^{-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \leq 10,5\)
Шаг 2. Введем новую переменную \(y = 3^x \cdot 2^{-x}\):
\(6y + y \leq 10,5\)
Шаг 3. Приведем подобные:
\(7y \leq 10,5\)
Шаг 4. Разделим обе части на \(7\):
\(y \leq \frac{10,5}{7} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}\)
Шаг 5. Вернемся к исходной переменной \(y = 3^x \cdot 2^{-x}\):
\(3^x \cdot 2^{-x} \leq \frac{3}{2}\)
Шаг 6. Перепишем выражение через степень дроби:
\(\left(\frac{3}{2}\right)^x \leq \frac{3}{2}\)
Шаг 7. Заметим, что функция \(\left(\frac{3}{2}\right)^x\) возрастает при \(x \in \mathbb{R}\). Следовательно, неравенство выполняется, если:
\(x \leq 1\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1]\).
б) \(2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \geq 2,8\)
Шаг 1. Упростим выражение:
\(2^x \cdot 5^{1-x} = 2^x \cdot 5 \cdot 5^{-x} = 5 \cdot 2^x \cdot 5^{-x}\)
\(2^{x+1} \cdot 5^{-x} = 2 \cdot 2^x \cdot 5^{-x}\)
Подставим упрощенные выражения в неравенство:
\(5 \cdot 2^x \cdot 5^{-x} + 2 \cdot 2^x \cdot 5^{-x} \geq 2,8\)
Шаг 2. Введем новую переменную \(y = 2^x \cdot 5^{-x}\):
\(5y + 2y \geq 2,8\)
Шаг 3. Приведем подобные:
\(7y \geq 2,8\)
Шаг 4. Разделим обе части на \(7\):
\(y \geq \frac{2,8}{7} = \frac{28}{70} = \frac{2}{5}\)
Шаг 5. Вернемся к исходной переменной \(y = 2^x \cdot 5^{-x}\):
\(2^x \cdot 5^{-x} \geq \frac{2}{5}\)
Шаг 6. Перепишем выражение через степень дроби:
\(\left(\frac{2}{5}\right)^x \geq \frac{2}{5}\)
Шаг 7. Заметим, что функция \(\left(\frac{2}{5}\right)^x\) убывает при \(x \in \mathbb{R}\). Следовательно, неравенство выполняется, если:
\(x \leq 1\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1]\).
